Correction de l'épreuve de Mathématiques (ENAM 2026)

On observe les égalités suivantes :
$9\times9+7=88$
$98\times9+6=888$
$987\times9+5=8888$
En se basant sur ce pattern, quel est le résultat du calcul suivant : $9876543\times9+1$ ?

On observe le comportement des carrés des nombres composés de 9 :
$9^2=81$
$99^2=9801$
$999^2=998001$
En suivant rigoureusement cette logique algébrique, quelle est la valeur de $999999^2$ ?

La "persistance multiplicative" d'un nombre est le nombre de fois qu'il faut multiplier ses chiffres entre eux avant d'obtenir un seul chiffre (un nombre inférieur à 10). Exemple avec 39 : 3x9=27, 2x7=14, 1x4=4 (3 étapes, persistance=3). Quelle est la persistance multiplicative du nombre 639 ?

On observe la régularité du dernier chiffre (l'unité) des puissances de 3 : $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243...$ Quel est le chiffre des unités de $3^{2026}$ ?

Soit un ensemble de 8 points distincts dans le plan, de sorte que 3 points quelconques ne sont jamais alignés. Combien de triangles non dégénérés peut-on former en utilisant ces points comme sommets ?

Soient A et B deux événements tels que $ P(A)=0,6$ et $ P(B)=0,3$. Sachant que A et B sont indépendants, quelle est la probabilité de leur union $ P(A\cup B)$ ?

Un trousseau comporte $ n$ ($ n\ge1$) clés indiscrenables, dont une seule ouvre une porte. On essaie les clés l'une après l'autre au hasard, en écartant à chaque fois celle qui n'a pas permis d'ouvrir. Quelle est la probabilité de réussir à ouvrir la porte exactement au k-ième essai ($1\le k\le n$) ?

On choisit au hasard un sous-ensemble de $\{1, 2, ..., 10\}$, tous les sous-ensembles étant équiprobables. Quelle est la probabilité que le sous-ensemble choisi contienne exactement 4 éléments ?

Le domaine de définition de la fonction $ f:x\mapsto\sqrt{\ln(\frac{x-1}{x-2})}$ est :

Le nombre dérivé de la fonction $ x\mapsto(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$ en $ a=2$ est :

Le domaine de dérivabilité de la fonction $ x\mapsto\sqrt{x^2-x^3}$ est :

L'équation $6x^3-3x^2+15x+7=0$ admet-elle :

Soit la fonction f définie par $ f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$. La valeur maximale absolue prise par cette fonction sur $]0; +\infty[$ est :

La suite $(u_n)$ définie par $ u_0\in]0; 1[$ et $(\forall n\in\mathbb{N})~ u_{n+1}=u_n-u_n^2$ :

La limite de la suite $(S_n)_{n\ge1}$ avec $ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}$ est :

Soit $ z\in\mathbb{C}$ tel que $|z-3i|\le1$. Quelle est la valeur maximale que peut prendre le module $|z-4|$ ?

Soient $ z_1$ et $ z_2$ deux nombres complexes de module 1 tels que $ z_1 \cdot z_2 \ne -1$. Le nombre $ Z=\frac{z_1+z_2}{1+z_1 \cdot z_2}$ est :

Soit T une transformation du plan complexe de représentation $ z'=iz+2-2i$. Alors T est :

Soit $ f$ une fonction continue et strictly croissante sur $[0;1]$ telle que $ f(0)=0$ et $ f(1)=1$. Soit $ f^{-1}$ sa fonction réciproque. Que vaut la somme des deux intégrales : $\int_0^1 f(x)dx + \int_0^1 f^{-1}(y)dy$ ?

Soit $ f$ une fonction continue sur $[a; b]$ ($ a< b$) telle que $\int_a^b f(x)dx=0$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est obligatoirement vraie ?