Concours ENSA 2015 Mathématiques

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc - 2015

Épreuve de Mathématiques

Cocher la bonne réponse: une réponse juste: 1pts, une réponse fausse ou pas de réponse: 0pts

Si vous voulez être discipliné, la durée est 1 heure 30 minutes.

Question 1 :

\(\frac{1}{2} \left( \sum_{k=0}^{12} C_{12}^k \right) - 34 =\)

A) 2012

B) 2013

C) 2014

D) 2015

Question 2 :

Pour \( n \in IN^* \), \(\sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}} Min(i, j) =\)

A) \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

B) \(\frac{n(n+1)}{3}\)

C) \(\frac{n(n+2)}{3}\)

D) \(\frac{(n+1)(n+2)}{6}\)

Question 3 :

Soit le réel \(\lambda = \sqrt[3]{3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{-3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}}}\). En calculant \(\lambda^3\), montrer que :

A) \(\lambda = 0\)

B) \(\lambda = 1\)

C) \(\lambda = 2\)

D) \(\lambda = 3\)

Question 4 :

\(\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\sin(n)}{3} \right)^n =\)

A) 1

B) \(\frac{1}{3}\)

C) \(\frac{2}{3}\)

D) 0

Question 5 :

\(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2 + k} =\)

A) 0

B) 1

C) 2

D) k

Question 6 :

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{10x} - e^{7x}}{x}\)

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

Question 7 :

\(\lim_{x \to 0^+} \left( 1 + \sin^2 \left( \frac{1}{x} \right) \right) \ln x =\)

A) 1

B) 0

C) -∞

D) +∞

Question 8 :

\(\int_0^1 \frac{e^x}{(10 - 3e^x)^2} \, dx =\)

A) \(\frac{1}{3} \left( \frac{1}{10 - 3e} - \frac{1}{7} \right)\)

B) \(\frac{1}{2} \left( \frac{1}{10 - 3e} + \frac{1}{7} \right)\)

C) \(\frac{1}{3} \left( \frac{1}{10 - e} - \frac{1}{7} \right)\)

D) \(\frac{1}{10 - 3e}\)

Question 9 :

\(\int_1^e \left( \frac{\ln x}{x} \right)^2 \, dx =\)

A) \(-\frac{5}{e}\)

B) \(2 + \frac{5}{e}\)

C) \(\frac{5}{e}\)

D) \(2 - \frac{5}{e}\)

Question 10 :

\(\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 3x + 2} \, dx =\)

A) \(\ln \left( \frac{4}{3} \right)\)

B) \(\frac{4}{3}\)

C) \(\ln \left( \frac{5}{3} \right)\)

D) \(\frac{5}{3}\)

Problème 1:

On considère plusieurs urnes de boules \( U_1, U_2, \ldots, U_n, \ldots \) telles que: la première urne, \( U_1 \), contient trois boules jaunes et deux boules vertes et chacune des autres urnes contient deux boules jaunes et deux boules vertes.
On réalise des tirages successifs de la manière suivante:
-on tire au hasard une boule de \( U_1 \);
-on place la boule tirée de \( U_1 \) dans \( U_2 \), puis on tire une boule dans \( U_2 \);
-on place la boule tirée de \( U_2 \) dans \( U_3 \), puis on tire une boule dans \( U_3 \);
-...etc.
Pour tout entier \( n \geq 1 \), on note \( E_n \) l'événement "la boule tirée de \( U_n \) est verte" et \( P_n = P(E_n) \) sa probabilité.

Question 11 :

La valeur de \( P_1 \) est :

A) 0,54

B) 0,40

C) 0,44

D) 0,64

Question 12 :

Sachant qu'on a tiré une boule verte de \( U_1 \) et qu'on l'a placée dans \( U_2 \), la probabilité de tirer une boule verte de \( U_2 \) est :

A) 0,60

B) 0,83

C) 0,80

D) 0,33

Question 13 :

La valeur de \( P_2 \) est :

A) 0,44

B) 0,46

C) 0,48

D) 0,45

Question 14 :

La relation entre \( P_n \) et \( P_{n+1} \) est :

A) \( P_{n+1} = 5 + 5P_n \)

B) \( P_{n+1} = 2 + 5P_n \)

C) \( P_{n+1} = 5 + 2P_n \)

D) \( 5P_{n+1} = 2 + P_n \)

Question 15 :

En étudiant le comportement de la suite \( P_n \), peut-on confirmer qu'après un grand nombre de tirage on a :

A) une chance sur deux de tirer une boule verte

B) une chance sur trois de tirer une boule verte

C) une chance sur quatre de tirer une boule verte

D) une chance sur cinq de tirer une boule verte

Problème 2:

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct \( (O, \tilde{i}, \tilde{J}) \); unité graphique rem. Soient A, B et C les points d'affixes respectives \( a = 2, \, b = 3 + i\sqrt{3} \) et \( c = 2i\sqrt{3} \).

Question 16 :

La mesure de l'angle \( ABC \) vaut :

A) 90°

B) 95°

C) 85°

D) 180°

Question 17 :

L'affixe w du centre \(\Omega\) du cercle circonscrit au triangle ABC est :

A) \(1 - i\sqrt{3}\)

B) \(1 + i\sqrt{3}\)

C) \(-1 + i\sqrt{3}\)

D) \(-1 - i\sqrt{3}\)

Question 18 :

On note \(A_n\) le point d'affixe \(z_n\), où \(z_n\) est la suite de nombres complexes, de premier terme \(z_0 = 0\), et telle que, pour tout entier naturel n: \[ z_{n+1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \, z_n + 2. \] On considère la suite \(t_n = z_n - w\). En faisant remarquer que \(w\) est solution de l'équation \(z = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} z + 2\). La suite \(t_n\) vérifie la relation:

A) \( t_{n+1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \, t_n \)

B) \( t_{n+1} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \, t_n \)

C) \( 1 + i\sqrt{3} \, t_{n+1} = 2 \, t_n \)

D) \( 1 + i\sqrt{3} \, t_n = 2 \, t_{n+1} \)

Question 19 :

En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

A) \( A_{n+6} = 2A_n \)

B) \( A_{n+6} = -A_n \)

C) \( A_{n+6} = A_n \)

D) \( A_{n+6} = -2A_n \)

Question 20 :

La valeur de \( A_{2015} \) est :

A) \(-1 + 2i\sqrt{3}\)

B) \(3 + i\sqrt{3}\)

C) \(3i\sqrt{2}\)

D) \(-1 + i\sqrt{3}\)

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Question 1 :

Question 2 :

Question 3 :

Question 4 :

Question 5 :

Question 6 :

Question 7 :

Question 8 :

Question 9 :

Question 10 :

Problème 1:

Question 11 :

Question 12 :

Question 13 :

Question 14 :

Question 15 :

Problème 2:

Question 16 :

Question 17 :

Question 18 :

Question 19 :

Question 20 :

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