Concours ENSA 2015 Mathématiques

Question 1

\( \frac{1}{2} \left( \sum_{k=0}^{12} C_{12}^k \right) - 34 = \)

A) 2012 B) 2013 C) 2014 D) 2015

Question 2

Pour \( n \in \mathbb{N}^* \), \( \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}} \min(i, j) = \)

A) \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) B) \( \frac{n(n+1)}{3} \) C) \( \frac{n(n+2)}{3} \) D) \( \frac{(n+1)(n+2)}{6} \)

Question 3

Soit le réel \( \lambda = \sqrt[3]{3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{-3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}}} \). En calculant \( \lambda^3 \), montrer que :

A) \( \lambda = 0 \) B) \( \lambda = 1 \) C) \( \lambda = 2 \) D) \( \lambda = 3 \)

Question 4

\( \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\sin(n)}{3} \right)^n = \)

A) 1 B) \( \frac{1}{3} \) C) \( \frac{2}{3} \) D) 0

Question 5

\( \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2 + k} = \)

A) 0 B) 1 C) 2 D) k

Question 6

\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{10x} - e^{7x}}{x} = \)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Question 7

\( \lim_{x \to 0^+} \left( 1 + \sin^2 \left( \frac{1}{x} \right) \right) \ln x = \)

A) 1 B) 0 C) \( -\infty \) D) \( +\infty \)

Question 8

\( \int_0^1 \frac{e^x}{(10 - 3e^x)^2} \, dx = \)

A) \( \frac{1}{3} \left( \frac{1}{10 - 3e} - \frac{1}{7} \right) \) B) \( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{10 - 3e} + \frac{1}{7} \right) \) C) \( \frac{1}{3} \left( \frac{1}{10 - e} - \frac{1}{7} \right) \) D) \( \frac{1}{10 - 3e} \)

Question 9

\( \int_1^e \left( \frac{\ln x}{x} \right)^2 \, dx = \)

A) \( -\frac{5}{e} \) B) \( 2 + \frac{5}{e} \) C) \( \frac{5}{e} \) D) \( 2 - \frac{5}{e} \)

Question 10

\( \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \)

A) \( \ln \left( \frac{4}{3} \right) \) B) \( \frac{4}{3} \) C) \( \ln \left( \frac{5}{3} \right) \) D) \( \frac{5}{3} \)

Question 11

La valeur de \( P_1 \) est :

A) 0,54 B) 0,40 C) 0,44 D) 0,64

Question 12

Sachant qu'on a tiré une boule verte de \( U_1 \) et qu'on l'a placée dans \( U_2 \), la probabilité de tirer une boule verte de \( U_2 \) est :

A) 0,60 B) 0,83 C) 0,80 D) 0,33

Question 13

La valeur de \( P_2 \) est :

A) 0,44 B) 0,46 C) 0,48 D) 0,45

Question 14

La relation entre \( P_n \) et \( P_{n+1} \) est :

A) \( P_{n+1} = 5 + 5P_n \) B) \( P_{n+1} = 2 + 5P_n \) C) \( P_{n+1} = 5 + 2P_n \) D) \( 5P_{n+1} = 2 + P_n \)

Question 15

En étudiant le comportement de la suite \( P_n \), peut-on confirmer qu'après un grand nombre de tirages on a :

A) une chance sur deux de tirer une boule verte B) une chance sur trois de tirer une boule verte C) une chance sur quatre de tirer une boule verte D) une chance sur cinq de tirer une boule verte

Question 16

La mesure de l'angle \( \widehat{ABC} \) vaut :

A) 90° B) 95° C) 85° D) 180°

Question 17

L'affixe \(w\) du centre \( \Omega \) du cercle circonscrit au triangle ABC est :

A) \( 1 - i\sqrt{3} \) B) \( 1 + i\sqrt{3} \) C) \( -1 + i\sqrt{3} \) D) \( -1 - i\sqrt{3} \)

Question 18

On note \(A_n\) le point d'affixe \(z_n\), où \((z_n)\) est la suite de nombres complexes, de premier terme \(z_0 = 0\), et telle que, pour tout entier naturel n: \[ z_{n+1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \, z_n + 2 \] On considère la suite \(t_n = z_n - w\). En faisant remarquer que \(w\) est solution de l'équation \(z = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} z + 2\). La suite \(t_n\) vérifie la relation:

A) \( t_{n+1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \, t_n \) B) \( t_{n+1} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \, t_n \) C) \( 1 + i\sqrt{3} \, t_{n+1} = 2 \, t_n \) D) \( 1 + i\sqrt{3} \, t_n = 2 \, t_{n+1} \)

Question 19

En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

A) \( A_{n+6} = 2A_n \) B) \( A_{n+6} = -A_n \) C) \( A_{n+6} = A_n \) D) \( A_{n+6} = -2A_n \)

Question 20

La valeur de \( A_{2015} \) est :

A) \( -1 + 2i\sqrt{3} \) B) \( 3 + i\sqrt{3} \) C) \( 3i\sqrt{2} \) D) \( -1 + i\sqrt{3} \)

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc 2015

Épreuve de Mathématiques

Problème 1

Problème 2

Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc 2015

Épreuve de Mathématiques

Problème 1

Problème 2

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc 2015