Concours ENSA 2016 Mathématiques

Exercice 1:

Soient \( a, b, c \) trois nombres complexes distincts, \( A, B, C \) leurs images dans le plan. On note \( t = \frac{c - a}{b - a} \).

Question 1 :

Soient \( re \, \mathbb{R}_+^*, \theta \in \mathbb{R} \), la relation \( t = re^{i\theta} \) se traduit géométriquement par :

A) \( AC = rAB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv 0[2\pi] \)

B) \( AB = rAC \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta[2\pi] \)

C) \( AC = rAB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta[2\pi] \)

D) \( AC = r^2 AB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta[2\pi] \)

Question 2 :

\( A, B, C \) sont alignés si et seulement si

A) \( t \in i\mathbb{R} \)

B) \( t \in \mathbb{R}_+ \)

C) \( t \in i\mathbb{R}_+ \)

D) \( t \in \mathbb{R} \)

Question 3 :

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \) si et seulement si

A) \( t \in i\mathbb{R} \)

B) \( t \in \mathbb{R}_+ \)

C) \( t \in i\mathbb{R}_+ \)

D) \( t \in \mathbb{R} \)

Exercice 2:

Soit \( E \) un ensemble à \( n \) éléments, et \( A \subset E \) un sous-ensemble à \( p \) éléments.

Question 4 :

Le nombre de parties de \( E \) est

A) \( n^2 \)

B) \( 2^n \)

C) \( n^n \)

D) \( n! \)

Question 5 :

Le nombre de parties de \( E \) qui contiennent un et un seul élément de \( A \) est

A) \( n \, 2^{n-p} \)

B) \( p \, n \, 2^{n-p} \)

C) \( p \, 2^{n-p} \)

D) \( 2^{n-p} \)

Question 6 :

On part du point de coordonnées (0,0) pour rejoindre le point de coordonnées \((p,q)\) (\(p\) et \(q\) entiers naturels donnés strictement supérieures à 1) en se déplaçant à chaque étape d'une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins possibles ?

A) \(C_{p+q}^{q}\)

B) \(qC_{p+p}^{q}\)

C) \(C_{pq}^{q}\)

D) \(2^{p+q}\)

Question 7 :

Soit f la fonction réelle définit de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\)

A) f est injective

B) f est surjective

C) f n'est pas injective

D) f est injective et n'est pas surjective

Question 8 :

Combien le nombre 15! admet-il de diviseurs ?

A) 4032

B) 3042

C) 2034

D) 3044

Question 9 :

Un QCM comporte 20 questions, pour chacune d'elles 4 réponses sont proposées, une seule est exacte. Le nombre de grilles réponses possibles est :

A) \(4^{20}\)

B) \(20^{4}\)

C) 800

D) 80

Question 10 :

Soit \((x,y,z)\in([0,1])^3\) : \(\alpha = Minimum\{x(1-y); y(1-z); z(1-x)\}\)

A) \(\alpha = 0\)

B) \(\alpha > \frac{1}{4}\)

C) \(\frac{1}{8} < \alpha < \frac{1}{4}\)

D) \(\alpha \leq \frac{1}{4}\)

Question 11 :

\(\sum_{k=0}^{2016} (-1)^k C_{2016}^k =\)

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

Question 12 :

\(\sum_{1 \leq i \leq 10} \sum_{1 \leq j \leq 10} (i + j)^2 =\)

A) 10000

B) 10750

C) 13000

D) 13750

Question 13 :

Toute fonction discontinue est :

A) constante

B) non dérivable

C) dérivable

D) périodique

Question 14 :

\(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & si \, x \neq 0 \\ 0 & sinon \end{cases}\)

A) \(f' n'\) est pas continue en 0

B) \(f'\) est continue en 0

C) \(f'\) admet une limite finie en 0

D) \(f'\) a pour limite +∞ en 0

Question 15 :

\(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x - 1}{x + 3} \right)^{x+2} =\)

A) 1

B) \(e^{-4}\)

C) \(\sqrt{e}\)

D) 0

Question 16 :

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \cos^2 \left( \frac{1}{x} \right) - \sin \left( \frac{1}{x} \right) + 3}{x + \sqrt{x}} =\)

A) + ∞

B) 0

C) 1

D) 3

Question 17 :

Soit \( r_i (i = 1,4) \) les quatres racines de l'équation réelle : \((x - 7)(x - 5)(x + 4)(x + 6) = 608\).
Le produit des racines \[ \prod_{i=1}^{4} r_{i} \] vaut :

A) 464

B) 608

C) 232

D) 840

Question 18 :

\[ \int_{e}^{e^2} \frac{1 + \ln x}{x \ln x} \, dx = \]

A) 1 - \(\ln 2\)

B) 1 + \(\ln 2\)

C) \(\ln 2\)

D) 1

Question 19 :

\[ \int_{0}^{1} x^2 \sin(\pi x) \, dx = \]

A) \(\frac{\pi^2 - 4}{\pi^3}\)

B) \(\frac{\pi^2 + 4}{\pi^3}\)

C) \(\frac{4}{\pi^3}\)

D) \(\frac{-4}{\pi^3}\)

Question 20 :

Soient \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos(x) + \sin(x)} \, dx \) et \( J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)} \, dx \)

A) \( I = J = 0 \)

B) \( I = \frac{\pi}{2} \text{et} J = \frac{\pi}{4} \)

C) \( I = J = \frac{\pi}{4} \)

D) \( I = \frac{\pi}{3} \text{et} J = \pi \)

Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc - Juillet 2016