Concours ENSA 2016 Mathématiques

Exercice 1

Soient \( a, b, c \) trois nombres complexes distincts, \( A, B, C \) leurs images dans le plan. On note \( t = \frac{c - a}{b - a} \).

Question 1

Soient \( r \in \mathbb{R}_+^*, \theta \in \mathbb{R} \), la relation \( t = re^{i\theta} \) se traduit géométriquement par :

A) \( AC = rAB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv 0 \, [2\pi] \) B) \( AB = rAC \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta \, [2\pi] \) C) \( AC = rAB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta \, [2\pi] \) D) \( AC = r^2 AB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta \, [2\pi] \)

Question 2

\( A, B, C \) sont alignés si et seulement si :

A) \( t \in i\mathbb{R} \) B) \( t \in \mathbb{R}_+ \) C) \( t \in i\mathbb{R}_+ \) D) \( t \in \mathbb{R} \)

Question 3

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \) si et seulement si :

A) \( t \in i\mathbb{R} \) B) \( t \in \mathbb{R}_+ \) C) \( t \in i\mathbb{R}_+ \) D) \( t \in \mathbb{R} \)

Exercice 2

Soit \( E \) un ensemble à \( n \) éléments, et \( A \subset E \) un sous-ensemble à \( p \) éléments.

Question 4

Le nombre de parties de \( E \) est :

A) \( n^2 \) B) \( 2^n \) C) \( n^n \) D) \( n! \)

Question 5

Le nombre de parties de \( E \) qui contiennent un et un seul élément de \( A \) est :

A) \( n \, 2^{n-p} \) B) \( p \, n \, 2^{n-p} \) C) \( p \, 2^{n-p} \) D) \( 2^{n-p} \)

Question 6

On part du point de coordonnées (0,0) pour rejoindre le point de coordonnées \((p,q)\) (\(p\) et \(q\) entiers naturels donnés strictement supérieurs à 1) en se déplaçant à chaque étape d'une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins possibles ?

A) \(C_{p+q}^{q}\) B) \(qC_{p+p}^{q}\) C) \(C_{pq}^{q}\) D) \(2^{p+q}\)

Question 7

Soit \(f\) la fonction réelle définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\)

A) f est injective B) f est surjective C) f n'est pas injective D) f est injective et n'est pas surjective

Question 8

Combien le nombre 15! admet-il de diviseurs ?

A) 4032 B) 3042 C) 2034 D) 3044

Question 9

Un QCM comporte 20 questions, pour chacune d'elles 4 réponses sont proposées, une seule est exacte. Le nombre de grilles réponses possibles est :

A) \(4^{20}\) B) \(20^{4}\) C) 800 D) 80

Question 10

Soit \((x,y,z)\in([0,1])^3\) : \(\alpha = \min\{x(1-y); y(1-z); z(1-x)\}\)

A) \(\alpha = 0\) B) \(\alpha > \frac{1}{4}\) C) \(\frac{1}{8} < \alpha < \frac{1}{4}\) D) \(\alpha \leq \frac{1}{4}\)

Question 11

\(\sum_{k=0}^{2016} (-1)^k C_{2016}^k =\)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Question 12

\(\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (i + j)^2 =\)

A) 10000 B) 10750 C) 13000 D) 13750

Question 13

Toute fonction discontinue est :

A) constante B) non dérivable C) dérivable D) périodique

Question 14

\(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\)

A) \(f'\) n'est pas continue en 0 B) \(f'\) est continue en 0 C) \(f'\) admet une limite finie en 0 D) \(f'\) a pour limite +∞ en 0

Question 15

\(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x - 1}{x + 3} \right)^{x+2} =\)

A) 1 B) \(e^{-4}\) C) \(\sqrt{e}\) D) 0

Question 16

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \cos^2 \left( \frac{1}{x} \right) - \sin \left( \frac{1}{x} \right) + 3}{x + \sqrt{x}} =\)

A) + ∞ B) 0 C) 1 D) 3

Question 17

Soit \( r_i (i = 1,4) \) les quatres racines de l'équation réelle : \((x - 7)(x - 5)(x + 4)(x + 6) = 608\).
Le produit des racines \( \prod_{i=1}^{4} r_{i} \) vaut :

A) 464 B) 608 C) 232 D) 840

Question 18

\[ \int_{e}^{e^2} \frac{1 + \ln x}{x \ln x} \, dx = \]

A) 1 - \(\ln 2\) B) 1 + \(\ln 2\) C) \(\ln 2\) D) 1

Question 19

\[ \int_{0}^{1} x^2 \sin(\pi x) \, dx = \]

A) \(\frac{\pi^2 - 4}{\pi^3}\) B) \(\frac{\pi^2 + 4}{\pi^3}\) C) \(\frac{4}{\pi^3}\) D) \(\frac{-4}{\pi^3}\)

Question 20

Soient \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos(x) + \sin(x)} \, dx \) et \( J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)} \, dx \)

A) \( I = J = 0 \) B) \( I = \frac{\pi}{2} \) et \( J = \frac{\pi}{4} \) C) \( I = J = \frac{\pi}{4} \) D) \( I = \frac{\pi}{3} \) et \( J = \pi \)

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc - Juillet 2016

Épreuve de Mathématiques

Exercice 1

Exercice 2

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Épreuve de Mathématiques

Exercice 1

Exercice 2

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