Exercice 1
Soient \( a, b, c \) trois nombres complexes distincts, \( A, B, C \) leurs images dans le plan. On note \( t = \frac{c - a}{b - a} \).
Question 1
Soient \( r \in \mathbb{R}_+^*, \theta \in \mathbb{R} \), la relation \( t = re^{i\theta} \) se traduit géométriquement par :
- A) \( AC = rAB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv 0\,[2\pi] \)
- B) \( AB = rAC \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta\,[2\pi] \)
- C) \( AC = rAB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta\,[2\pi] \)
- D) \( AC = r^2 AB \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \theta\,[2\pi] \)
Question 2
\( A, B, C \) sont alignés si et seulement si :
- A) \( t \in i\mathbb{R} \)
- B) \( t \in \mathbb{R}_+ \)
- C) \( t \in i\mathbb{R}_+ \)
- D) \( t \in \mathbb{R} \)
Question 3
Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \) si et seulement si :
- A) \( t \in i\mathbb{R} \)
- B) \( t \in \mathbb{R}_+ \)
- C) \( t \in i\mathbb{R}_+ \)
- D) \( t \in \mathbb{R} \)
Exercice 2
Soit \( E \) un ensemble à \( n \) éléments, et \( A \subset E \) un sous-ensemble à \( p \) éléments.
Question 4
Le nombre de parties de \( E \) est :
- A) \( n^2 \)
- B) \( 2^n \)
- C) \( n^n \)
- D) \( n! \)
Question 5
Le nombre de parties de \( E \) qui contiennent un et un seul élément de \( A \) est :
- A) \( n \, 2^{n-p} \)
- B) \( p \, n \, 2^{n-p} \)
- C) \( p \, 2^{n-p} \)
- D) \( 2^{n-p} \)
Question 6
On part du point de coordonnées (0,0) pour rejoindre le point de coordonnées \((p,q)\) (\(p\) et \(q\) entiers naturels donnés strictement supérieurs à 1) en se déplaçant à chaque étape d'une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins possibles ?
- A) \(C_{p+q}^{q}\)
- B) \(qC_{p+p}^{q}\)
- C) \(C_{pq}^{q}\)
- D) \(2^{p+q}\)
Question 7
Soit f la fonction réelle définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\)
- A) f est injective
- B) f est surjective
- C) f n'est pas injective
- D) f est injective et n'est pas surjective
Question 8
Combien le nombre 15! admet-il de diviseurs ?
- A) 4032
- B) 3042
- C) 2034
- D) 3044
Question 9
Un QCM comporte 20 questions, pour chacune d'elles 4 réponses sont proposées, une seule est exacte. Le nombre de grilles réponses possibles est :
- A) \(4^{20}\)
- B) \(20^{4}\)
- C) 800
- D) 80
Question 10
Soit \((x,y,z)\in([0,1])^3\) : \(\alpha = \min\{x(1-y); y(1-z); z(1-x)\}\)
- A) \(\alpha = 0\)
- B) \(\alpha > \frac{1}{4}\)
- C) \(\frac{1}{8} < \alpha < \frac{1}{4}\)
- D) \(\alpha \leq \frac{1}{4}\)
Question 11
\(\sum_{k=0}^{2016} (-1)^k C_{2016}^k =\)
Question 12
\(\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (i + j)^2 =\)
- A) 10000
- B) 10750
- C) 13000
- D) 13750
Question 13
Toute fonction discontinue est :
- A) constante
- B) non dérivable
- C) dérivable
- D) périodique
Question 14
\(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\)
- A) \(f'\) n'est pas continue en 0
- B) \(f'\) est continue en 0
- C) \(f'\) admet une limite finie en 0
- D) \(f'\) a pour limite +∞ en 0
Question 15
\(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x - 1}{x + 3} \right)^{x+2} =\)
- A) 1
- B) \(e^{-4}\)
- C) \(\sqrt{e}\)
- D) 0
Question 16
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \cos^2 \left( \frac{1}{x} \right) - \sin \left( \frac{1}{x} \right) + 3}{x + \sqrt{x}} =\)
Question 17
Soit \( r_i (i = 1,4) \) les quatres racines de l'équation réelle : \((x - 7)(x - 5)(x + 4)(x + 6) = 608\). Le produit des racines \( \prod_{i=1}^{4} r_{i} \) vaut :
Question 18
\[ \int_{e}^{e^2} \frac{1 + \ln x}{x \ln x} \, dx = \]
- A) 1 - \(\ln 2\)
- B) 1 + \(\ln 2\)
- C) \(\ln 2\)
- D) 1
Question 19
\[ \int_{0}^{1} x^2 \sin(\pi x) \, dx = \]
- A) \(\frac{\pi^2 - 4}{\pi^3}\)
- B) \(\frac{\pi^2 + 4}{\pi^3}\)
- C) \(\frac{4}{\pi^3}\)
- D) \(\frac{-4}{\pi^3}\)
Question 20
Soient \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos(x) + \sin(x)} \, dx \) et \( J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)} \, dx \)
- A) \( I = J = 0 \)
- B) \( I = \frac{\pi}{2} \text{ et } J = \frac{\pi}{4} \)
- C) \( I = J = \frac{\pi}{4} \)
- D) \( I = \frac{\pi}{3} \text{ et } J = \pi \)
