Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc Juillet 2017

Épreuve de Mathématiques

Cocher la bonne réponse: une réponse juste: 1pts, une réponse fausse ou pas de réponse: 0pts

Durée: 1 heure 30 minutes.

Question 1 :

\(\sqrt{9.8} \left( \frac{147}{375} \right)^{-\frac{4}{8}} =\)

Question 2 :

On pose \(X = \sqrt[3]{\sqrt{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2}\). En calculant \(X^3\), montrer que \(X\) vaut:

Question 3 :

\(2 \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7} =\)

Question 4 :

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{n - (-1)^n}{n + (-1)^n} =\)

Question 5 :

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x e^{-x} + x^2}{x - \ln x} =\)

Question 6 :

\(\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^3 - 3x - 2} =\)

Question 7 :

Soit \(f(x) = |x|\) et \(f'\) la dérivée d’ordre 1 de \(f\), alors:

Question 8 :

\(\int_0^{\pi/2} (\cos x)^7 \, dx =\)

Question 9 :

\(\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x - x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} \, dx =\)

Question 10 :

\(\int_0^1 \frac{xe^x}{(x+1)^2} \, dx =\)

Exercice 1:

On munit l'espace d'un repère orthonormé (O,i,j,k):

Question 11 :

Une représentation paramétrique de la droite passant par le point \( A = (-1, 2, -3) \) et orthogonale au plan d'équation \( 2x - 3y + 4z + 1 = 0 \) est :

Question 12 :

On note le point \( A = (-1, 3, 1) \) et on considère la droite (D) dont l'une des représentations paramétriques est \[ \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2 - 2t \\ z = 3 + 3t \\ \end{cases} \] Les coordonnées du projeté orthogonal du point A sur la droite (D) sont:

Question 13 :

L'intersection de la droite dirigée par \( \vec{u} = (3, 2, 1) \) et passant par le point \( A = (1, 2, 3) \) avec le plan \( (xOy) \) est le point B de coordonnées:

Exercice 2:

Pour fêter leur réussite au concours ENSA, Taha et Jawad sont partis au restaurant pour déjeuner. Taha possède dans sa poche trois billets de 50 DH et un billet de 100 DH, alors que Jawad a dans sa poche un seul billet de 50 DH et un seul billet de 100 DH.
En tant que Amis, joyeux, Taha et Jawad décident en commun accord avec le serveur de payer leur repas selon la procédure suivante:
Dans une urne, deux boules enferment chacune le prénom de l'un des deux amis, écrit sur un bout de papier. Le serveur choisit au hasard une des deux boules, l'ouvre, énonce le prénom écrit sur le bout de papier, le remet dans la boule qu'il dépose tout de suite dans l'urne.
La personne dont le prénom est choisit mettra sa main dans sa poche, en fermant les yeux, et fera sortir obligatoirement un seul billet (nous supposons que les billets sont indiscernables au toucher) et le remettra au serveur qu'il mettra à son tour dans sa caisse quelques soit sa valeur. Si la valeur du billet tiré est de 100 DH, le serveur ferme la caisse et les deux amis peuvent quitter le restaurant, sinon l'opération se refait, une seule fois encore, selon la même procédure.

Question 14 :

La probabilité pour que le coût du repas des deux amis soit de 150 DH est:

Question 15 :

La probabilité pour que les deux amis paient équitablement le repas est:

Question 16 :

La probabilité pour que l’un des deux amis mange gratuitement est:

Exercice 3:

On considère les nombres complexes suivants : \[ z_1 = \sqrt{2} + i \sqrt{6}, \, z_2 = 2 + 2i \quad et \quad Z = \frac{z_1}{z_2} \]

Question 17 :

La forme algébrique de Z est :

Question 18 :

Le module de Z est :

Question 19 :

L’argument de Z est :

Question 20 :

La forme algébrique de \(Z^{2017}\) est