Correction de l'épreuve de Physique-Chimie

Un laboratoire de recherche nucléaire reçoit un échantillon d'un composé radioactif strontium \( ^{90}_{38}Sr \). La masse de cet échantillon au moment de la réception est \( m_0 = 1 \, \text{g} \).
Données :
La demi-vie du composé radioactif \( ^{90}_{38}Sr \) est de 28 ans ;
\( \ln(2) = 0,7 \), \( \ln(3) = 1,1 \), \( \ln(5) = 1,6 \), \( \ln(10) = 2,3 \) ; \( N_A = 6,02.10^{23} \, \text{mol}^{-1} \).

Dans une centrale nucléaire, on considère la réaction de fission de l'uranium 235 \( (^{235}_{92}U) \) après collision avec un neutron thermique, qui produit du xénon 140 et du strontium 94. L'équation bilan de la réaction s'écrit comme suit :
\[ ^1_0n + ^{235}_{92}U \rightarrow ^{140}_{54}Xe + ^{94}_{38}Sr + 2 \, ^1_0n \]
L'énergie de liaison par nucléon des deux noyaux produits est de \( 8.5 \, \text{MeV} \), et celle du noyau d'uranium 235 est de \( 7.6 \, \text{MeV} \).

Un solide de centre masse \( G \) assimilé à un point matériel est en mouvement par rapport à un repère fixe supposé galiléen. La direction de sa vitesse est constante.

La piste de lancement d'un projectile \( M \) comprend une partie rectiligne horizontale \( ABC \) et une portion circulaire \( CD \) centrée en \( O \), de rayon \( a = 1 \, \text{m} \), d'angle au centre \( O \), \( \alpha = 60^\circ \), et est telle que \( OC \) soit perpendiculaire à \( AC \). On suppose qu'il n'y a pas de forces de frottement exercées par la piste sur le mobile tout le long du trajet parcouru par ce dernier. Le projectile \( M \) assimilable à un point matériel de masse \( m=0.5 \, \text{g} \) (Attention: l'énoncé d'origine a une coquille, c'est souvent en kg, mais on suit l'énoncé), est lancé à partir du point \( A \) sans vitesse initiale suivant \( AB \) de longueur \( 1 \, \text{m} \) avec une force constante \( \vec{F} \), horizontale et ne s'exerçant qu'entre \( A \) et \( B \).
On donne \( g=10 \, \text{m.s}^{-2} \) et on suppose que l'origine de l'énergie potentielle du mobile \( M \) est le niveau horizontal de la piste.

On étudie le centre d'inertie du ballon au volley-ball. La résistance de l'air est négligée. Le joueur frappe le ballon situé en \( A \) et lui communique une vitesse \( v_0 = 10 \, \text{m.s}^{-1} \) faisant un angle \( \alpha \) avec l'horizontale. Le point \( A \) est à une hauteur \( H = 2.80 \, \text{m} \) du sol ; le filet à \( h = 2.50 \, \text{m} \), la masse du ballon \( m = 280 \, \text{g} \) et le rayon du ballon \( r = 10 \, \text{cm} \). On donne \( g = 10 \, \text{m.s}^{-2} \).

La différence de potentiel aux bornes d'un condensateur (A,B) de capacité \( C = 0,1 \, \mu\text{F} \) est \( U_{AB} = 120 \, \text{V} \).
A la date \( t = 0 \) ce condensateur est branché aux bornes de (M, N) d'une bobine de résistance négligeable et d'inductance \( L = 1 \, \text{H} \). L'intensité du courant est nulle à cette date. On prendra \( \pi^2 \approx 10 \).

Les variations dans le temps de la charge du condensateur et de l'intensité du courant sont données par les expressions suivantes :
    \( Q(t) = Q_m \cos(2\pi f_0 t + \varphi_1) \) et \( I(t) = I_m \cos(2\pi f_0 t + \varphi_2) \)
Où \( Q_m \), \( I_m \), \( \varphi_1 \) et \( \varphi_2 \) sont déterminées par les conditions initiales.

Sur un conduit en fonte contenant de l'eau, on place un capteur de pression. Un coup est donné sur le conduit, à une distance d du capteur. On détecte deux signaux, séparés par un intervalle de temps \( \Delta t = 0,70 \, \text{s} \).
Données : La célérité du son dans l'eau vaut \( v_{\text{eau}} = 1500 \, \text{m.s}^{-1} \). La célérité du son dans la fonte vaut \( v_{\text{fonte}} = 5000 \, \text{m.s}^{-1} \).

Dans une solution (S) de sulfate de plomb \( (Pb^{2+} + SO_4^{2-}) \) de concentration \( C = 0.1 \, \text{mol.L}^{-1} \), on introduit de la poudre d'étain Sn en excès. On donne dans les conditions de l'expérience la constante d'équilibre \( K \) de cette réaction ci-dessous :
\[ Pb^{2+}_{(aq)} + Sn_{(s)} \rightleftharpoons Pb_{(s)} + Sn^{2+}_{(aq)} \quad K = 2,2 \]

On considère la pile plomb-zinc qui débite dans le sens spontané :
\[ \text{borne -} \quad Zn_{(s)} / Zn^{2+}_{(aq)} \, || \, Pb^{2+}_{(aq)} / Pb_{(s)} \quad \text{borne +} \]
Chaque électrode a une masse \( m = 100 \, \text{g} \). Les solutions de chaque demi-pile ont une concentration en cations métalliques \( C = 0.2 \, \text{mol.L}^{-1} \) et un volume \( V = 200 \, \text{mL} \).
Données : 1 F = 96500 \( \text{C.mol}^{-1} \), masse molaire atomique du plomb \( M_{Pb} = 207 \, \text{g.mol}^{-1} \) et du zinc \( M_{Zn} = 65.4 \, \text{g.mol}^{-1} \).

La production industrielle de l'aluminium s'effectue par électrolyse à partir d'oxyde d'aluminium \( Al_2O_3 \) extrait de la bauxite, selon l'équation bilan:
\[ 2Al_2O_3 + 3C \rightarrow 4Al + 3CO_2 \]
Données : 1 F = 96500 \( \text{C.mol}^{-1} \), \( M_{Al} = 27 \, \text{g.mol}^{-1} \) .

20 mL d'une solution d'acide chlorhydrique sont mis en présence de 0,1g de zinc. On recueille en fin de réaction 11,4 cm\(^3\) de dihydrogène gazeux, mesurés dans les C.N.T.P., puis on sépare le zinc restant dans la solution. Équation de la réaction :
\[ 2H^+_{(aq)} + Zn_{(s)} \rightarrow H_{2(g)} + Zn^{2+}_{(aq)} \]
Données: Volume molaire \( V_m = 22,4 \, \text{L.mol}^{-1} \), \( M_{Zn} = 65.4 \, \text{g.mol}^{-1} \).

L'eau de javel est fabriquée en solution aqueuse selon la réaction d'équation bilan:
\[ Cl_{2(g)} + 2OH^-_{(aq)} \rightarrow ClO^-_{(aq)} + Cl^-_{(aq)} + H_2O_{(l)} \]
Le degré chlorométrique (°Chl) d'une eau de javel est le volume de dichlore gazeux (dans les C.N.T.P., \( V_m = 22,4 \, \text{L.mol}^{-1} \)) qui a été utilisé pour préparer un litre de l'eau de javel.