Concours ENSA 2018 Mathématiques

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc Juillet 2018

Épreuve de Mathématiques

Cocher la bonne réponse: une réponse juste: 1pts, une réponse fausse ou pas de réponse: 0pts

Si vous voulez être discipliné, la durée est 1 heure 30 minutes.

Question 1 :

\((u_n)\) une suite réelle. Si \(\lim_{n \to +\infty} (u_{n+1} - u_n) = 2\), alors \(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} =\)

A) 2

B) 1

C) 0

D) +∞

Question 2 :

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n} =\)

A) 0

B) 1

C) -1

D) n'existe pas

Question 3 :

\(\lim_{x \to 1^+} \ln x \cdot \ln(\ln x) =\)

A) 0

B) 1

C) e

D) -∞

Question 4 :

Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}^*\) par : \(u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\). On a :

A) \(u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{2}\)

B) \(u_{2n} - u_n \geq \frac{1}{2}\)

C) \(u_{2n} - u_n \leq 1\)

D) \(u_{2n} - u_n \geq 1\)

Question 5 :

Pour la même suite que Q4. On a :

A) \(u_{2^{10}} \leq 6\)

B) \(u_{2^{10}} < 6\)

C) \(u_{2^{10}} = 3\)

D) \(u_{2^{10}} < 5\)

Question 6 :

\(\cos(\arctan x) =\)

A) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

B) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

C) \(\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}\)

D) \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Question 7 :

Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue en 0 telle que \( \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \). Alors \( f \) est:

A) Constante

B) Strictement croissante

C) Strictement décroissante

D) Périodique de période 2

Question 8 :

\( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction dérivable en \( a \in \mathbb{R} \). \(\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x - a} =\)

A) \(f'(a)\)

B) \(f(a) + af'(a)\)

C) \(f(a) - f'(a)\)

D) \(f(a) - af'(a)\)

Question 9 :

\(\int_0^1 \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx =\)

A) \(\frac{\pi}{4}\)

B) \(\frac{2}{3} \)

C) \(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\)

D) \(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}\)

Question 10 :

\(\int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln(x^2 + 1) \, dx =\)

A) \(\sqrt{3} \ln 2 - \frac{\pi}{9}\)

B) \(\sqrt{3} \ln 2 + \frac{\pi}{9}\)

C) 2(\(\sqrt{3} \ln 2 - \frac{\pi}{9}\))

D) \(\sqrt{3} \ln 2\)

Exercice 1:

On considère le cube ABCDEFGH et on note (A, AB, AD, AE) un repère orthonormé de l'espace.

Question 11 :

Les coordonnées du vecteur \(FD\) sont :

A) (1, 1, 1)

B) (-1, 1, 1)

C) (-1, 1, -1)

D) (1, 1, 0)

Question 12 :

Une représentation paramétrique de la droite (FD) est :

A) \(\begin{cases} x = t \\ y = t + 1 \\ z = -t \end{cases}\)

B) \(\begin{cases} x = -t \\ y = -t + 1 \\ z = -t \end{cases}\)

C) \(\begin{cases} x = -t \\ y = t + 1 \\ z = -t \end{cases}\)

D) \(\begin{cases} x = t \\ y = t + 1 \\ z = t \end{cases}\)

Question 13 :

On note \( I \) le milieu du segment [AB], \( J \) le milieu du segment [EH] et \( K \) le milieu du segment [BC]. La droite (FD) :

A) est orthogonale au plan (IJK)

B) n'est pas orthogonale au plan (IJK)

C) appartient au plan (IJK)

D) est parallèle au plan (IJK)

Question 14 :

Une équation cartésienne du plan (IJK) est \( ax + by + cz + d = 0 \) avec :

A) \( a = -1, b = -1, c = 1 \) et \( d = -1/2 \)

B) \( a = 1, b = -1, c = 1 \) et \( d = -1/2 \)

C) \( a = -1, b = -1, c = 1 \) et \( d = 1/2 \)

D) \( a = 1, b = 1, c = -1 \) et \( d = -1/2 \)

Question 15 :

Les coordonnées du point \( M_i \) intersection de la droite (FD) et le plan (IJK) sont :

A) \((1/2, 1/2, 1/2)\)

B) \((1/2, 0, 1/2)\)

C) \((1/2, 1/2, 0)\)

D) \((1, 1, 0)\)

Question 16 :

Le triangle IJK est :

A) Equilatéral

B) Rectangle en J

C) Rectangle en K

D) Rectangle en I

Exercice 2:

Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions, pour chacune desquelles 4 réponses sont proposées et une seule est correcte. Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en cochant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions. Pour \( n \in \mathbb{N} \) et \( 0 \leq n \leq 20 \), on note \( A_n \) « répondre au hasard exactement \( n \) fois correctement » ; l’évènement \( A_n \) est réalisé si \( n \) réponses sont correctes et \( 20 - n \) sont incorrectes.
\(\binom{n}{p}\) désigne le nombre de combinaisons de \( p \) parmi \( n \).

Question 17 :

Le nombre de grilles-réponses possibles est :

A) 24

B) \(20^4\)

C) 80

D) \(4^{20}\)

Question 18 :

La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est \( P(A_0) = \)

A) \(\frac{3^{20}}{4^{20}}\)

B) \(\frac{24}{4^{20}}\)

C) \(\frac{1}{20^4}\)

D) \(\frac{1}{80}\)

Question 19 :

La probabilité de donner exactement \( n \) bonnes réponses correctes est \( P(A_n) = \)

A) \[ \frac{\binom{20}{n} \cdot 3^n}{4^{20}} \]

B) \[ \frac{\binom{20}{n} \cdot 3^{20 - n}}{4^{20}} \]

C) \[ \frac{\binom{20}{3} \cdot 3^{20 - n}}{20^4} \]

D) \[ \frac{\binom{20}{3} \cdot 3^n}{80} \]

Question 20 :

La probabilité de répondre au hasard au moins 6 fois correctement est :

A)\[ \sum_{n=6}^{20} \frac{\binom{20}{n} \cdot 3^{20-n}}{4^{20}} \]

B) \[ \sum_{n=0}^{6} \frac{\binom{20}{n} \cdot 3^{20-n}}{4^{20}} \]

C) \[ \sum_{n=6}^{20} \frac{\binom{20}{n} \cdot 3^{20-n}}{20^{4}} \]

D) \[ \sum_{n=0}^{6} \frac{\binom{20}{n} \cdot 3^{20-n}}{20^{4}} \]

Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc Juillet 2018

Question 1 :

Question 2 :

Question 3 :

Question 4 :

Question 5 :

Question 6 :

Question 7 :

Question 8 :

Question 9 :

Question 10 :

Exercice 1:

Question 11 :

Question 12 :

Question 13 :

Question 14 :

Question 15 :

Question 16 :

Exercice 2:

Question 17 :

Question 18 :

Question 19 :

Question 20 :

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc Juillet 2018