Concours ENSA 2018 Mathématiques

Question 1

$(u_n)$ une suite réelle. Si $\lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) = 2$, alors $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} =$

A) $0$ B) $1$ C) $-\infty$ D) $2$

Question 2

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n} =$

A) $0$ B) $1$ C) $-\infty$ D) $+\infty$

Question 3

$\lim_{x \to 1^+} \ln x \cdot \ln(\ln x) =$

A) $1$ B) $0$ C) $+\infty$ D) $-\infty$

Question 4

Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par : $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. On a :

A) $u_{2n} - u_n \geq \frac{1}{2}$ B) $u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{4}$ C) $u_{2n} - u_n < \frac{1}{3}$ D) $u_{2n} - u_n < \frac{1}{2}$

Question 5

Pour la même suite que Q4. On a :

A) $u_{2^{10}} \geq 6$ B) $u_{2^{10}} < 6$ C) $u_{2^{10}} = 3$ D) $u_{2^{10}} < 5$

Question 6

$\cos(\arctan x) =$

A) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ B) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ C) $\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}$ D) $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

Question 7

Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue en 0 telle que $\forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x)$. Alors $f$ est :

A) Constante B) Strictement croissante C) Strictement décroissante D) périodique de période 2

Question 8

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction dérivable en $a \in \mathbb{R}$. $\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x - a} =$

A) $f'(a)$ B) $f(a) + af'(a)$ C) $f(a) - f'(a)$ D) $f(a) - af'(a)$

Question 9

$\int_0^1 \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx =$

A) $\frac{\pi}{4}$ B) $\frac{2}{3}$ C) $\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$ D) $\frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}$

Question 10

$\int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln(x^2 + 1) \, dx =$

A) $\sqrt{3} \ln 2 - \frac{\pi}{9}$ B) $\sqrt{3} \ln 2 + \frac{\pi}{9}$ C) $2(\sqrt{3} \ln 2 - \frac{\pi}{9})$ D) $\sqrt{3} \ln 2$

Exercice 1

On considère le cube ABCDEFGH et on note $(A, \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ un repère orthonormé de l'espace.

Question 11

Les coordonnées du vecteur $\vec{FD}$ sont :

A) $(1, 1, 1)$ B) $(-1, 1, 1)$ C) $(-1, 1, -1)$ D) $(1, 1, 0)$

Question 12

Une représentation paramétrique de la droite (FD) est :

A) $\begin{cases} x = t \\ y = t + 1 \\ z = -t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$ B) $\begin{cases} x = -t \\ y = -t + 1 \\ z = -t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$ C) $\begin{cases} x = -t \\ y = t + 1 \\ z = -t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$ D) $\begin{cases} x = t \\ y = t + 1 \\ z = t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$

Question 13

On note I le milieu du segment [AB], J le milieu du segment [EH] et K le milieu du segment [BC]. La droite (FD) :

A) est orthogonale au plan (IJK) B) n'est pas orthogonale au plan (IJK) C) appartient au plan (IJK) D) parallèle au plan (IJK)

Question 14

Une équation cartésienne du plan (IJK) est $ax + by + cz + d = 0$ avec :

A) $a = -1, b = -1, c = 1$ et $d = -1/2$ B) $a = 1, b = -1, c = 1$ et $d = -1/2$ C) $a = -1, b = -1, c = 1$ et $d = 1/2$ D) $a = 1, b = 1, c = -1$ et $d = -1/2$

Question 15

Les coordonnées du point $M_i$ intersection de la droite (FD) et le plan (IJK) sont :

A) $(1/2, 1/2, 1/2)$ B) $(1/2, 0, 1/2)$ C) $(1/2, 1/2, 0)$ D) $(1, 1, 0)$

Question 16

Le triangle IJK est :

A) Equilatéral B) Rectangle en J C) Rectangle en K D) Rectangle en I

Exercice 2

Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions, pour chacune desquelles 4 réponses sont proposées et une seule est correcte. Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en cochant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions.

Question 17

Le nombre de grilles-réponses possibles est :

A) $24$ B) $20^4$ C) $80$ D) $4^{20}$

Question 18

La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est $P(A_0) =$

A) $\frac{3^{20}}{4^{20}}$ B) $\frac{24}{4^{20}}$ C) $\frac{1}{20^4}$ D) $\frac{1}{80}$

Question 19

La probabilité de donner exactement $n$ bonnes réponses correctes est $P(A_n) =$

A) $\frac{\binom{20}{n} 3^n}{4^{20}}$ B) $\frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{4^{20}}$ C) $\frac{\binom{20}{3} 3^{20-n}}{20^4}$ D) $\frac{\binom{20}{3} 3^n}{80}$

Question 20

La probabilité de répondre au hasard au moins 6 fois correctement est :

A) $\sum_{n=6}^{20} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{4^{20}}$ B) $\sum_{n=0}^{6} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{4^{20}}$ C) $\sum_{n=6}^{20} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{20^{4}}$ D) $\sum_{n=0}^{6} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{20^{4}}$

Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc 2018

Épreuve de Mathématiques

Exercice 1

Exercice 2