Question 1
$(u_n)$ une suite réelle. Si $\lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) = 2$, alors $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} =$
- A) $0$
- B) $1$
- C) $-\infty$
- D) $2$
Question 2
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n} =$
- A) $0$
- B) $1$
- C) $-\infty$
- D) $+\infty$
Question 3
$\lim_{x \to 1^+} \ln x \cdot \ln(\ln x) =$
- A) $1$
- B) $0$
- C) $+\infty$
- D) $-\infty$
Question 4
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par : $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. On a :
- A) $u_{2n} - u_n \geq \frac{1}{2}$
- B) $u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{4}$
- C) $u_{2n} - u_n < \frac{1}{3}$
- D) $u_{2n} - u_n < \frac{1}{2}$
Question 5
Pour la même suite que Q4. On a :
- A) $u_{2^{10}} \geq 6$
- B) $u_{2^{10}} < 6$
- C) $u_{2^{10}} = 3$
- D) $u_{2^{10}} < 5$
Question 6
$\cos(\arctan x) =$
- A) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- B) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
- C) $\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}$
- D) $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
Question 7
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue en 0 telle que $\forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x)$. Alors $f$ est :
- A) Constante
- B) Strictement croissante
- C) Strictement décroissante
- D) périodique de période 2
Question 8
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction dérivable en $a \in \mathbb{R}$. $\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x - a} =$
- A) $f'(a)$
- B) $f(a) + af'(a)$
- C) $f(a) - f'(a)$
- D) $f(a) - af'(a)$
Question 9
$\int_0^1 \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx =$
- A) $\frac{\pi}{4}$
- B) $\frac{2}{3}$
- C) $\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$
- D) $\frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}$
Question 10
$\int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln(x^2 + 1) \, dx =$
- A) $\sqrt{3} \ln 2 - \frac{\pi}{9}$
- B) $\sqrt{3} \ln 2 + \frac{\pi}{9}$
- C) $2(\sqrt{3} \ln 2 - \frac{\pi}{9})$
- D) $\sqrt{3} \ln 2$
Exercice 1
On considère le cube ABCDEFGH et on note $(A, \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ un repère orthonormé de l'espace.
Question 11
Les coordonnées du vecteur $\vec{FD}$ sont :
- A) $(1, 1, 1)$
- B) $(-1, 1, 1)$
- C) $(-1, 1, -1)$
- D) $(1, 1, 0)$
Question 12
Une représentation paramétrique de la droite (FD) est :
- A) $\begin{cases} x = t \ y = t + 1 \ z = -t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
- B) $\begin{cases} x = -t \ y = -t + 1 \ z = -t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
- C) $\begin{cases} x = -t \ y = t + 1 \ z = -t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
- D) $\begin{cases} x = t \ y = t + 1 \ z = t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
Question 13
On note I le milieu du segment [AB], J le milieu du segment [EH] et K le milieu du segment [BC]. La droite (FD) :
- A) est orthogonale au plan (IJK)
- B) n'est pas orthogonale au plan (IJK)
- C) appartient au plan (IJK)
- D) est parallèle au plan (IJK)
Question 14
Une équation cartésienne du plan (IJK) est $ax + by + cz + d = 0$ avec :
- A) $a = -1, b = -1, c = 1$ et $d = -1/2$
- B) $a = 1, b = -1, c = 1$ et $d = -1/2$
- C) $a = -1, b = -1, c = 1$ et $d = 1/2$
- D) $a = 1, b = 1, c = -1$ et $d = -1/2$
Question 15
Les coordonnées du point $M_i$ intersection de la droite (FD) et le plan (IJK) sont :
- A) $(1/2, 1/2, 1/2)$
- B) $(1/2, 0, 1/2)$
- C) $(1/2, 1/2, 0)$
- D) $(1, 1, 0)$
Question 16
Le triangle IJK est :
- A) Equilatéral
- B) Rectangle en J
- C) Rectangle en K
- D) Rectangle en I
Exercice 2
Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions, pour chacune desquelles 4 réponses sont proposées et une seule est correcte. Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en cochant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions.
Question 17
Le nombre de grilles-réponses possibles est :
- A) $24$
- B) $20^4$
- C) $80$
- D) $4^{20}$
Question 18
La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est $P(A_0) =$
- A) $\frac{3^{20}}{4^{20}}$
- B) $\frac{24}{4^{20}}$
- C) $\frac{1}{20^4}$
- D) $\frac{1}{80}$
Question 19
La probabilité de donner exactement $n$ bonnes réponses correctes est $P(A_n) =$
- A) $\frac{\binom{20}{n} 3^n}{4^{20}}$
- B) $\frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{4^{20}}$
- C) $\frac{\binom{20}{3} 3^{20-n}}{20^4}$
- D) $\frac{\binom{20}{3} 3^n}{80}$
Question 20
La probabilité de répondre au hasard au moins 6 fois correctement est :
- A) $\sum_{n=6}^{20} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{4^{20}}$
- B) $\sum_{n=0}^{6} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{4^{20}}$
- C) $\sum_{n=6}^{20} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{20^{4}}$
- D) $\sum_{n=0}^{6} \frac{\binom{20}{n} 3^{20-n}}{20^{4}}$
