Concours ENSA 2019 Mathématiques

Question 1

Soient \( a, b > 0 \), on considère la suite : \[\begin{cases} u_{n+1} = \frac{(b^2 + ab - a^2)u_n - a^2}{b^2u_n + b^2 - ab - a^2} \\ u_0 = \frac{b}{a} \end{cases}\] En remarquant que la suite \( u_n = \frac{b}{bu_n - a} \) est une suite arithmétique, \( u_n \) est égal à :

A) \(\frac{an+b}{bn+a}\) B) \(\frac{n+b}{bn+a}\) C) \(\frac{an-b}{bn-a}\) D) \(\frac{an+b}{n+a}\)

Question 2

Pour \( n \in \mathbb{N}^* \), on considère la suite : \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k + n}\] On a \( u_n \in I \) avec

A) \( I = \left[ 0, \frac{1}{3} \right[ \) B) \( I = \left[ \frac{1}{3}, 1 \right[ \) C) \( I = [2, 3[ \) D) \( I = [1, 2[ \)

Question 3

On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus, \( \lim_{n \to +\infty} u_n \) est égale à :

A) \(\sqrt{3}\) B) \(\ln(3)\) C) \(\ln(\sqrt{3})\) D) 0

Question 4

Sachant que \( \left(\ln (x + \sqrt{4 + x^2})\right)' = \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} \), la valeur de l'intégrale \( \int_0^1 \sqrt{4 + x^2} dx \) est :

A) \( \ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2} \) B) \( \ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) - \ln \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right) \) C) \( \ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) - \frac{5}{2} \) D) \( \ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) + \frac{\sqrt{5}}{2} \)

Question 5

On considère l’équation trigonométrique suivante : \( (E) : \cos^4 (3x) + \sin^4 (3x) = 1 \). Les solutions de \( (E) \) sont de la forme :

A) \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \) B) \( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \) C) \( x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \) D) \( x = \frac{k\pi}{6}, k \in \mathbb{Z} \)

Question 6

Soit le réel \( \lambda = \sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}} - \sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt{5}}{2}} \). En calculant \( \lambda^4 \), la valeur de \( \lambda \) est :

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Question 7

Soit \( a > 0 \), la valeur de l’intégrale \( \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \) est :

A) \( \frac{\pi a}{4} \) B) \( 4\pi a \) C) \( \pi a^2 \) D) \( \frac{\pi a^2}{4} \)

Question 8

On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on note a, b et c les résultats successifs obtenus. On note \( Q(x) = ax^2 + bx + c \). La probabilité pour que \( Q \) admet une seule racine double est :

A) \( \frac{11}{216} \) B) \( \frac{7}{216} \) C) \( \frac{5}{216} \) D) \( \frac{9}{216} \)

Question 9

Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules (une après l’autre) sans remise. La probabilité d’obtenir la deuxième boule tirée de couleur rouge est :

A) \( \frac{17}{90} \) B) \( \frac{15}{90} \) C) \( \frac{19}{90} \) D) \( \frac{13}{90} \)

Question 10

On considère toujours la même expérience. La probabilité d’obtenir la boule jaune au premier tirage sachant que la deuxième boule tirée est rouge :

A) \( \frac{4}{17} \) B) \( \frac{5}{17} \) C) \( \frac{8}{17} \) D) \( \frac{9}{17} \)

Question 11

Soit \( z = -1 + \sqrt{2} + i \), \(\arg(z)\) est égal à :

A) \(\frac{3\pi}{8}\) B) \(\frac{5\pi}{8}\) C) \(\frac{7\pi}{8}\) D) \(\frac{\pi}{8}\)

Question 12

En relation avec la question précédente, la valeur de \( \cos \left( \frac{5\pi}{8} \right) \) est :

A) \(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\) B) \(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\) C) \(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\) D) \(-\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)

Question 13

Soit \( a = \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) \cos \left( \frac{2\pi}{5} \right) \). En calculant \( a \sin \left( \frac{\pi}{5} \right) \), la valeur de \( a \) est :

A) \(\frac{1}{2}\) B) \(\frac{1}{3}\) C) \(\frac{1}{4}\) D) \(\frac{1}{5}\)

Question 14

A partir de l’expression de la valeur de \( a \) (question précédente) la valeur de \( b = \sin \left( \frac{\pi}{5} \right) \sin \left( \frac{2\pi}{5} \right) \) est :

A) \(\frac{5}{4}\) B) \(\frac{\sqrt{5}}{4}\) C) \(\frac{1}{4}\) D) \(\sqrt{\frac{5}{4}}\)

Question 15

Soient \( A, B \) deux points distincts du plan. L’ensemble des points \( M \) tel que \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AM} - 4\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \) est :

A) Une droite B) Un cercle C) Une demi-droite D) Un disque

Question 16

L’expression simplifiée de \(u_n = \prod_{k=0}^{n} \left[ \frac{k^2 + 5k + 6}{k^2 + 5k + 4} \right]\) est :

A) \(\frac{6n+3}{n+4}\) B) \(\frac{n+4}{3n+6}\) C) \(\frac{n+4}{6n+3}\) D) \(\frac{3n+6}{n+4}\)

Question 17

Le concours d’entrée à la première année des ENSA pour l’année 2019-2020 se déroule le 23 Juillet 2019. Le nombre des unités de \(23^{2019}\) est :

A) 3 B) 9 C) 1 D) 7

Question 18

La valeur du produit suivant \(u_n = \prod_{k=1}^{n} (e^{2k} + e^{-2k})\) est :

A) \(\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\) B) \(\frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\) C) \(\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\) D) \(\frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\)

Question 19

Soient \(f_n(x) = e^x + nx^2 - 3\) et \(u_n\) la solution de \(f_n(x) = 0 \quad (x \geq 0, \, n > 0)\), \(u_n\) est :

A) est croissante B) est décroissante C) est stationnaire D) est périodique

Question 20

Suite à la question précédente, \(\lim_{n \to +\infty} u_n\) est égale à :

A) \(\frac{1}{2}\) B) 0 C) 1 D) \(\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc 2019

Épreuve de Mathématiques

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