Question 1
Une condition nécessaire (pas forcément suffisante) pour réussir le concours de l'ENSA est :
- A) Avoir répondu correctement à tout le QCM
- B) Avoir au plus 25% de réponses fausses
- C) Avoir au moins 50% de réponses correctes
- D) Avoir passé le concours
Question 2
Le 17 juillet 2021, jour du concours de l'ENSA, est un samedi. Quel jour de la semaine sera le 29 février 2024 ?
- A) mardi
- B) jeudi
- C) samedi
- D) lundi
Question 3
Le nombre de diviseurs de \( N = 72^{10} imes 162^{50} \) est :
- A) 17600
- B) 17680
- C) 17820
- D) 17901
Question 4
Soient x et y deux réels non nuls, inverses l'un de l'autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à 10. Le carré du nombre x vaut :
- A) 2 − \( \sqrt{3} \) ou 2 + \( \sqrt{3} \)
- B) 1 − \( \sqrt{5} \) ou 1 + \( \sqrt{5} \)
- C) 1 − \( \sqrt{3} \) ou 1 + \( \sqrt{3} \)
- D) 2 − \( \sqrt{5} \) ou 2 + \( \sqrt{5} \)
Question 5
Le produit \[ \prod_{k=0}^{9} \left( \sqrt[3.2^{k}]{5} \right) = \]
- A) \[ \sqrt[3]{5^{\frac{511}{256}}} \]
- B) \[ \sqrt[3]{5^{\frac{1023}{256}}} \]
- C) \[ \sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}} \]
- D) \[ \sqrt[3]{5^{\frac{511}{1024}}} \]
Question 6
\( \lim_{n \to +\infty} 3^n e^{-3n} = \)
- A) 1
- B) 0
- C) \( +\infty \)
- D) \( e \)
Question 7
En remarquant que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), le nombre \( (3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n \) est un entier pair, \( \lim_{n \to +\infty} \sin \left( (3 + \sqrt{5})^n \pi \right) = \)
- A) 1
- B) -1
- C) 0
- D) \( +\infty \)
Question 8
\( \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{6}} = \)
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) \( +\infty \)
Question 9
\( \lim_{x \to 0^+} x^{\left( \frac{1}{\ln 3x} \right)} = \)
- A) \( e \)
- B) 0
- C) \( \ln 3 \)
- D) \( 1 + e \)
Question 10
Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) une fonction \( T \) périodique avec \( T > 0 \), telle que \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) existe dans \( \mathbb{R}^* \). Alors:
- A) \( f \) est strictement croissante
- B) \( f \) est strictement décroissante
- C) \( f \) est la fonction nulle
- D) \( f \) est une constante non nulle
Question 11
Soit la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = \begin{cases} x^2 + x^3 \cos \frac{1}{x}, & \text{si } x \neq 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases} \). Soit \( f' \) la dérivée d'ordre 1 de \( f \).
- A) \( f'(0) = 1 \)
- B) \( f'(0) = 0 \)
- C) \( f'(0) = 2 \)
- D) \( f \) n'est pas dérivable en 0
Question 12
Pour la même fonction \( f \) de Q11, on note \( f'' \) sa dérivée d'ordre 2. Alors :
- A) \( f''(0) = 0 \)
- B) \( f''(0) = 1 \)
- C) \( f''(0) = 2 \)
- D) \( f \) n'est pas deux fois dérivable en 0
Question 13
L'aire de la région délimitée par la courbe d'équation \( y = \cos (\ln x) \) et les droites d'équations \( x = e^{\frac{\pi}{2}} \) et \( x = e^{\pi} \) est égale à:
- A) \( \frac{1}{2} (e^{\pi} + e^{\frac{\pi}{2}}) \)
- B) \( e^{\pi} - e^{\frac{\pi}{2}} \)
- C) \( e^{\pi} + e^{\frac{\pi}{2}} \)
- D) \( e^{\pi} \)
Question 14
Soit \( f:[0; a] \to \mathbb{R} \) continue telle que \( f(x) \neq -1 \) et \( f(x) \cdot f(a-x) = 1 \). \( \int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(x)} \, dx = \)
- A) \( \frac{a}{2} \)
- B) \( a \)
- C) \( 1 + a \)
- D) \( \frac{1}{1+a} \)
Question 15
Soit la fonction réelle \( f(x) = e^{-x} \sin (x) \) et \( f^{(4)} \) sa dérivée d'ordre 4, alors \( f^{(4)}(x) = \)
- A) -\( f(x) \)
- B) -4\( f(x) \)
- C) 4\( f(x) \)
- D) -3\( f(x) \)
Question 16
Pour la même fonction \( f \) de Q15, \( \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \)
- A) \( \frac{1}{3}(1 - e^{-\pi}) \)
- B) \( \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi}) \)
- C) \( \frac{1}{4}(1 - e^{-\pi}) \)
- D) \( \frac{1}{5}(1 + e^{-\pi}) \)
Question 17
Soit \( u \) la solution de l'équation à variable complexe : \( z z̄ + 4i z = -3 + 4i \). Alors:
- A) \( \text{Re}(u) \times \text{Im}(u) = 2 \)
- B) \( \text{Re}(u) \times \text{Im}(u) = 1 \)
- C) \( \text{Re}(u) + \text{Im}(u) = 2 \)
- D) \( u \) est un imaginaire pur
Question 18
Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation à variable complexe : \( z^2 - 2 z̄ + 3 = 0 \). \( \text{Re} \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \)
- A) \( -\frac{2\sqrt{6}}{7} \)
- B) \( \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
- C) \( \frac{5}{7} \)
- D) \( -\frac{5}{7} \)
Question 19
Soient \( \theta \) un nombre réel non nul et \( z \) un nombre complexe tels que : \( z = \cos^2 \theta + i \sin \theta \cos \theta \). La partie réelle du nombre \( z^{-3} \) est :
- A) \( \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \)
- B) \( \frac{\sin 3\theta}{\sin^3 \theta} \)
- C) \( \frac{\cos 3\theta}{\cos^3 \theta} \)
- D) \( \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} \)
Question 20
Le nombre \( \cos 5\theta \) est égal à :
- A) \( \cos^5 \theta + 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)
- B) \( \cos^5 \theta + 5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 10 \cos \theta \sin^4 \theta \)
- C) \( \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + \cos \theta \sin^4 \theta \)
- D) \( \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)
