Concours ENSA 2022 Mathématiques

Question 1 :

Sachant que 11x11 = 121, le produit 111111111 x 111111111 est égal à :

A) 1234567654321

B) 123456787654321

C) 12345678987654321

D) 1234568654321

Question 2 :

Le nombre de diviseurs positifs du nombre 546x840 est :

A) 180

B) 181

C) 182

D) 183

Question 3 :

Soit f : IR → IR. La négation de la proposition « f est la fonction nulle » est :

A) ∀x ∈IR, f(x) > 0

B) ∀x ∈IR, f(x) ≠ 0

C) ∀x ∈IR, f(x) = 0

D) ∃x ∈IR, f(x) ≠ 0

Question 4 :

La solution de l'équation à variable réelle x : ln(x² − 1) − ln(2x − 1) + ln 2 = 0 est :

A) 2+√3

B) (1+√3)/2

C) (2+√3)/2

D) 2+3√3

Question 5 :

La valeur maximale des termes u_k = C₂₂^22-k × 20^22-k × 21^k dans le développement du nombre (20 + 21)²² par la formule du Binôme de Newton est atteinte pour k égal à :

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

Question 6 :

\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} = \]

A) 1

B) 0

C) +\infty

D) e

Question 7 :

\[ \lim_{n \to +\infty} n - \sqrt{(n+5)(n+7)} = \]

A) 0

B) -6

C) 6

D) +\infty

Question 8 :

Soient a et b deux réels; la fonction f définie par: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} & \text{si } x > 0 \\ ax+b & \text{si } x \leq 0 \end{cases} \] est continue en 0 si

A) a ∈ IR et b = 2

B) a = 0 et b = 1

C) a = -1/3 et b = 1/2

D) a ∈ IR et b = -1/2

Question 9 :

La dérivée de la fonction \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{(³\sqrt{x+2})^2 (\sqrt{x+3})^3} \) est :

A) \(\frac{5x^2-x-12}{\sqrt{x-1} (³\sqrt{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)

B) \(\frac{3x^2+x-24}{\sqrt{x-1} (³\sqrt{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)

C) \(\frac{2x^2+x-24}{2\sqrt{x-1} (³\sqrt{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)

D) \(\frac{5x^2+x-24}{3\sqrt{x-1} (³\sqrt{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)

Question 10 :

Soit \( f : [0,+\infty[ \rightarrow [0,+\infty[ \) définie par \( f(x) = xe^x \). L'équation de la tangente à la courbe \( f^{-1} \) au point d'abscisse e est :

A) \( y = \frac{1}{2e}x + \frac{1}{2} \)

B) \( y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{2} \)

C) \( y = \frac{1}{2e}x + 1 \)

D) \( y = \frac{1}{e}x - 1 \)

Question 11 :

\[ \int_{0}^{1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \, dx = \]

A) \(\frac{\pi}{2}\)

B) \(\frac{\pi}{2} - 1\)

C) \(-1 + \frac{\pi}{4}\)

D) \(-1 - \frac{\pi}{4}\)

Question 12 :

Soit l'intégrale \( I_n = \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^n \, dx \). La valeur de \( I_4 \) est:

A) \(\frac{252}{315}\)

B) \(\frac{254}{315}\)

C) \(\frac{258}{315}\)

D) \(\frac{256}{315}\)

Question 13 :

cos (\(\pi/16\)) est égal à :

A) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2} - \sqrt{2}}\)

B) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2}}\)

C) \(\frac{1}{16}\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}\)

D) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}\)

Question 14 :

La formule algébrique du nombre complexe \(\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2023}\) est :

A) \(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

B) \(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

C) \(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\)

D) \(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\)

Question 15 :

Soit le nombre complexe \( z = \sqrt{3} + i \), alors \( z^5 \) est égal à :

A) \(\bar{z}\)

B) \(-8\bar{z}\)

C) \(-16\bar{z}\)

D) \(16\bar{z}\)

Question 16 :

Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation suivante : \[ 2z^2 - 2(m + 1 + i)z + m^2 + (1 + i)m + i = 0 \text{ ou } m \in C^n \text{ et } z \in C, m \neq 1, i. \] \[ Im(z_1) \times Im(z_2) = \]

A) \(\frac{1 - m^2}{2}\)

B) \(\frac{1 + m^2}{2}\)

C) \(\frac{1 - m^2}{4}\)

D) \(\frac{1 + m^2}{4}\)

Question 17 :

La solution \( y(x) \) de l'équation différentielle suivante: \( y'' + y' + \frac{5}{2}y = 0, \, y(0) = -4; \, y'(0) = 6 \) est :

A) \( e^{\frac{-x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) - \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)

B) \( e^{\frac{-x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) + \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)

C) \( e^{\frac{x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) - \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)

D) \( e^{\frac{x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) + \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)

Question 18 :

Dans un repère orthonormé, on considère le plan P d'équation cartésienne \( 2x - y - 2z + 2 = 0 \), et la sphère d'équation \( x^2 - 6x + y^2 + z^2 + 10z - 2 = 0 \). Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan P est :

A) \(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in IR\)

B) \(\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in IR\)

C) \(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = 5 - 2t \end{cases}, t \in IR\)

D) \(\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in IR\)

Question 19 :

La première année du cycle préparatoire d'une ENSA comporte 300 élèves ingénieurs. Ils sont inscrits aux clubs des activités de l'Ecole selon la répartition suivante : 60 au club Cyber Sécurité dont 30% sont des filles, 90 au club Sport dont 60 % sont des filles, et 150 au club Environnement dont 72% sont des filles. Chaque élève-ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e). La probabilité que l'élève choisi(e) soit une fille est :

A) 0,4

B) 0,5

C) 0,6

D) 0,7

Question 20 :

Sachant que l'élève choisi(e) est un garçon, la probabilité qu'il soit inscrit au club Environnement est :

A) 0,25

B) 0,35

C) 0,45

D) 0,55

Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc - 1er Août 2022