Question 1
Sachant que 11x11 = 121, le produit 111111111 x 111111111 est égal à :
- A) 1234567654321
- B) 123456787654321
- C) 12345678987654321
- D) 1234568654321
Question 2
Le nombre de diviseurs positifs du nombre 546x840 est :
Question 3
Soit f : IR → IR. La négation de la proposition « f est la fonction nulle » est :
- A) ∀x ∈ IR, f(x) > 0
- B) ∀x ∈ IR, f(x) ≠ 0
- C) ∀x ∈ IR, f(x) = 0
- D) ∃x ∈ IR, f(x) ≠ 0
Question 4
La solution de l'équation à variable réelle x : \( \ln(x^2 − 1) − \ln(2x − 1) + \ln 2 = 0 \) est :
- A) \(\frac{1+7\sqrt{3}}{2}\)
- B) \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
- C) \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\)
- D) \(\frac{1+3\sqrt{3}}{2}\)
Question 5
La valeur maximale des termes \( u_k = C_{22}^{k} \times 20^{22-k} \times 21^k \) dans le développement du nombre \( (20 + 21)^{22} \) par la formule du Binôme de Newton est atteinte pour k égal à :
Question 6
\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} = \]
Question 7
\[ \lim_{n \to +\infty} \left( n - \sqrt{(n+5)(n+7)} \right) = \]
Question 8
Soient a et b deux réels; la fonction f définie par: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} & \text{si } x > 0 \\ ax+b & \text{si } x \leq 0 \end{cases} \] est continue en 0 si :
- A) a ∈ IR et b = 2
- B) a = 0 et b = 1
- C) a = -1/3 et b = 1/2
- D) a ∈ IR et b = -1/2
Question 9
La dérivée de la fonction \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{(\sqrt[3]{x+2})^2 (\sqrt{x+3})^3} \) est :
- A) \(\frac{5x^2-x-12}{\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)
- B) \(\frac{3x^2+x-24}{\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)
- C) \(\frac{2x^2+x-24}{2\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)
- D) \(\frac{5x^2+x-24}{3\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)
Question 10
Soit \( f : [0,+\infty[ \rightarrow [0,+\infty[ \) définie par \( f(x) = xe^x \). L'équation de la tangente à la courbe \( f^{-1} \) au point d'abscisse e est :
- A) \( y = \frac{1}{2e}x + \frac{1}{2} \)
- B) \( y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{2} \)
- C) \( y = \frac{1}{2e}x + 1 \)
- D) \( y = \frac{1}{e}x - 1 \)
Question 11
\[ \int_{0}^{1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \, dx = \]
- A) \(\frac{\pi}{2}\)
- B) \(\frac{\pi}{2} - 1\)
- C) \(-1 + \frac{\pi}{4}\)
- D) \(-1 - \frac{\pi}{4}\)
Question 12
Soit l'intégrale \( I_n = \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^n \, dx \). La valeur de \( I_4 \) est :
- A) \(\frac{252}{315}\)
- B) \(\frac{254}{315}\)
- C) \(\frac{258}{315}\)
- D) \(\frac{256}{315}\)
Question 13
\( \cos(\frac{\pi}{16}) \) est égal à :
- A) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}\)
- B) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\)
- C) \(\frac{1}{16}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\)
- D) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\)
Question 14
La formule algébrique du nombre complexe \( \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2023} \) est :
- A) \(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- B) \(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- C) \(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\)
- D) \(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\)
Question 15
Soit le nombre complexe \( z = \sqrt{3} + i \), alors \( z^5 \) est égal à :
- A) \(z̄\)
- B) \(-8z̄\)
- C) \(-16z̄\)
- D) \(16z̄\)
Question 16
Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation suivante : \[ 2z^2 - 2(m + 1 + i)z + m^2 + (1 + i)m + i = 0 \text{ où } m \in \mathbb{C}, m \neq 1, i. \] \( \text{Im}(z_1) \times \text{Im}(z_2) = \)
- A) \(\frac{1 - m^2}{2}\)
- B) \(\frac{1 + m^2}{2}\)
- C) \(\frac{1 - m^2}{4}\)
- D) \(\frac{1 + m^2}{4}\)
Question 17
La solution \( y(x) \) de l'équation différentielle suivante: \( y'' + y' + \frac{5}{2}y = 0, \, y(0) = -4; \, y'(0) = 6 \) est :
- A) \( e^{\frac{x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) - \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)
- B) \( e^{\frac{x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) + \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)
- C) \( e^{\frac{-x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) - \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)
- D) \( e^{\frac{-x}{2}}(-4\cos(\frac{3}{2}x) + \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)) \)
Question 18
Dans un repère orthonormé, on considère le plan P d'équation cartésienne \( 2x - y - 2z + 2 = 0 \), et la sphère d'équation \( x^2 - 6x + y^2 + z^2 + 10z - 2 = 0 \). Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan P est :
- A) \(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\)
- B) \(\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\)
- C) \(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = 5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\)
- D) \(\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\)
Question 19
La première année du cycle préparatoire d'une ENSA comporte 300 élèves ingénieurs. Ils sont inscrits aux clubs des activités de l'École selon la répartition suivante : 60 au club Cyber Sécurité dont 30% sont des filles, 90 au club Sport dont 60 % sont des filles, et 150 au club Environnement dont 72% sont des filles. Chaque élève ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e). La probabilité que l'élève choisi(e) soit une fille est :
Question 20
Sachant que l'élève choisi(e) est un garçon, la probabilité qu'il soit inscrit au club Environnement est :
- A) 0,25
- B) 0,35
- C) 0,45
- D) 0,55
