Question 1
Voici une suite logique de nombres : 6 ; 4 ; 8 ; 5 ; 15,… Le nombre suivant est :
Question 2
Soit \( x \) un nombre de 6 chiffres divisible par 9 et \( y \) le nombre obtenu en déplaçant à la fin le premier chiffre de \( x \). Le reste de la division de \( y \) par 9 est égal à :
Question 3
Le nombre de couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut 150 est égal à :
Question 4
L’équation à variables réelles \( 9x^5 - 12x^4 + 6x - 5 = 0 \) :
- A) admet une seule solution entière
- B) admet trois solutions entières
- C) admet cinq solutions entières
- D) n'admet pas de solution entière
Question 5
Soit la suite \( (u_n) \) définie par : \( u_n = \sqrt{n} - [\sqrt{n}] \), \( n \in IN \). (\([x]\) désigne la partie entière de \( x \)). \[\lim_{n \to +\infty} u_{(n^2 + 2n)} =\]
Question 6
\[ \lim_{x \to +\infty} e^x \sin(e^{-x}) = \]
- A) 0
- B) 1
- C) -1
- D) n'a pas de limite
Question 7
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x^2 + x - 1)}{x} = \]
- A) 0
- B) 1
- C) -1
- D) n'a pas de limite
Question 8
Soit \( f \) une fonction continue de \( IR \) à valeurs dans \( Z \). Alors:
- A) \( f \) n'est pas constante
- B) \( f \) est une constante
- C) \( f \) est strictement croissante
- D) \( f \) est strictement décroissante
Question 9
Soit \( f \) une fonction dérivable sur \( IR \) telle que : \[ \forall (x, y) \in IR^2, f(x + y)(1 - f(x)f(y)) = f(x) + f(y) \] Alors : \[ \forall x \in IR, \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2} = \]
- A) \( f'(0) \)
- B) \( f'(0) - 1 \)
- C) \( f'(0) + \frac{1}{2} \)
- D) \( f'(0) - \frac{1}{2} \)
Question 10
Pour tout réel \( \alpha > 0 \); \[ \int_{\frac{1}{\alpha}}^{\alpha} \frac{\ln x}{1 + x^2} \, dx = \]
- A) \(\ln \alpha\)
- B) \( 2 \ln \alpha \)
- C) 0
- D) \(\alpha \frac{\pi}{2}\)
Question 11
On considère les deux intégrales suivantes : \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin^2(x) \, dx \quad \text{et} \quad J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos^2(x) \, dx \] La valeur de \( I \) est :
- A) \(\frac{\pi^3}{48}\)
- B) \(\frac{\pi^3}{24} + \frac{\pi}{4}\)
- C) \(- \frac{\pi}{8}\)
- D) \(\frac{\pi^3}{48} + \frac{\pi}{8}\)
Question 12
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^{1445} \sin x \, dx = \]
- A) \(\frac{1}{1445}\)
- B) \(\frac{1}{1446} - \frac{\pi}{2}\)
- C) \(\frac{1}{1446}\)
- D) \(\frac{1}{1447} + \frac{\pi}{2}\)
Question 13
Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions complexes de l'équation : \[ z^2 - 4iz - 4(1 + i) = 0 \] Alors : \( Im(z_1) + Im(z_2) \)
Question 14
Le nombre complexe \[ (1 + i)^{2000} = \]
- A) 1
- B) \( 4^{1000} \)
- C) \( 4^{500} \)
- D) \( 4^{200} \)
Question 15
Le nombre complexe \[ \left(\frac{7 - 15i}{15 + 7i}\right)^{2023} = \]
- A) \( i \)
- B) \( -i \)
- C) \( -1 \)
- D) \( i + 1 \)
Question 16
La somme \[ (1 + e^{\frac{i2\pi}{5}} + e^{\frac{i4\pi}{5}} + e^{\frac{i6\pi}{5}} + e^{\frac{i8\pi}{5}})^{1000} = \]
- A) 0
- B) 1
- C) \( i \)
- D) \( -i \)
Question 17
La solution \( f(x) \) de l’équation différentielle \( y'' - 7y' + 12y = 0 \) vérifiant \( f(0) = 0, f'(0) = 1 \) est :
- A) \( e^{-4x} - e^{3x} \)
- B) \( e^{5x} - e^{3x} \)
- C) \( e^{4x} - e^{3x} \)
- D) \( e^{5x} - e^{4x} \)
Question 18
Soient \( d_A \) la distance du point \( A(1,0,2) \) au plan (P) : \( 2x + y + z + 4 = 0 \) ; et \( d_B \) la distance du point \( B(3,2,1) \) au plan (Q) : \( x + 5y - 4z = 5 \). Alors le produit des distances \( d_A d_B \) est :
- A) \(\frac{8}{3\sqrt{7}}\)
- B) \(\frac{10}{3\sqrt{7}}\)
- C) \(\frac{11}{3\sqrt{7}}\)
- D) \(\frac{13}{3\sqrt{7}}\)
Question 19
L’aire sous la cloche d’équation \( y = \frac{1}{1+x^2} \) et au-dessus de la parabole d’équation \( y = \frac{x^2}{2} \) est :
- A) \(\frac{1}{3}\)
- B) \(-\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}\)
- C) \(\frac{\pi}{2}\)
- D) \(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\)
Question 20
On considère le cercle (C) d’équation \( x^2 + y^2 + x - 3y - 3 = 0 \) et (D) la droite passant par le point \( A \) de coordonnées (1, -2) et tangent à (C) au point \( M \). La longueur du segment \([AM]\) est égale à :
