Concours ENSA 2024 Mathématiques

Question 1

Dans une salle d'examen où les places sont numérotées, 100 candidats passent un concours d'accès aux ENSA. On dispose des feuilles de brouillon de trois couleurs différentes ordonnées ainsi : bleu, vert, jaune. Une feuille sur quatre, en commençant par la quatrième, contient le logo des ENSA. Les feuilles sont distribuées, en respectant l'ordre des numéros des places ainsi que celui des couleurs mentionnées ci-dessus. Le nombre de candidats ayant reçu une feuille de brouillon jaune contenant le logo est :

A) 8 B) 10 C) 12 D) 15

Question 2

\(\frac{1}{5} \sqrt{(101 \times 102 \times 103 \times 104) + 1} =\)

A) 2101 B) 2102 C) 2103 D) 2104

Question 3

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n n + 1}{n + \sqrt{n}} =\)

A) 0 B) 1 C) -1 D) n'a pas de limite

Question 4

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos \left( \frac{2}{3}x \right) - \sqrt{3} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right)}{\cos (2x)} =\)

A) \(\frac{11}{3}\) B) \(\frac{10}{6}\) C) \(\frac{10}{3}\) D) \(\frac{11}{6}\)

Question 5

Soit \((u_n)\) une suite de réels éléments de \(]0,1[\) telle que \(\forall n \in IN, \, (1 - u_n) u_{n+1} > \frac{1}{4}\)

A) \(u_n\) est croissante et converge vers \(\frac{1}{4}\) B) \(u_n\) est décroissante et converge vers \(\frac{1}{4}\) C) \(u_n\) est croissante et converge vers \(\frac{1}{2}\) D) \(u_n\) est divergente

Question 6

Dans l'ensemble \( IR \), l'équation : \(\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 1\)

A) admet une solution B) admet deux solutions C) admet trois solutions D) n'admet pas de solution

Question 7

Soit \( m \in IR \) et \((E_m)\) l'équation d'inconnue réelle \( x \) : \((E_m) : e^{2x} - 2me^x + 1 = 0\)

A) si \( m \in ]1, +\infty[, (E_m) \) admet deux solutions de signe contraire B) si \( m \in ]-1, 1[, (E_m) \) admet au moins une solution C) si \( m \in ]-\infty, -1], (E_m) \) admet deux solutions négatives D) si \( m \in [1, +\infty[, (E_m) \) admet deux solutions positives

Question 8

Soit une fonction \( f : [0, +\infty[ \rightarrow [0, +\infty[ \) dérivable telle que \( f(0) = 0 \). On suppose que : \(\forall \, x \geq 0, \, f'(x) \leq af(x) \, (a > 0)\)

A) \( f \) est strictement croissante B) \( f \) est strictement décroissante C) \( f \) est une constante nulle D) \( f \) est une constante non nulle

Question 9

Soit la fonction \( f \) définie sur IR par :
\[f(x) = \begin{cases} e^{\frac{-1}{x^2}} & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}, \, f' \text{ sa dérivée}\]
\(\lim_{x \to 0} f'(x) =\)

A) 0 B) 1 C) \( e \) D) \( +\infty \)

Question 10

\(\int_1^2 \frac{\ln(1+x) - \ln(x)}{x^2} \, dx =\)

A) \(\frac{5}{2} \ln2 + \frac{1}{2} \ln3\) B) \(\frac{7}{2} \ln2 + \frac{3}{2} \ln3\) C) \(\frac{7}{2} \ln2 - \frac{3}{2} \ln3 - \frac{1}{2}\) D) \(\frac{7}{2} \ln2\)

Question 11

\[ \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, e^x \, dx = \]

A) \( 1 + e^{\frac{\pi}{2}} \) B) \( \frac{1 + e^{\frac{\pi}{2}}}{2} \) C) \( 5 - e^{\frac{\pi}{2}} \) D) \( \frac{5 - e^{\frac{\pi}{2}}}{2} \)

Question 12

\(\forall n \in \mathbb{N}^*\), on pose : \( I_n = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(1+t^n)^2} \), alors : \(\lim_{n \to +\infty} I_n = \)

A) 2 B) \( +\infty \) C) \( \frac{1}{4} \) D) 1

Question 13

Le nombre de diviseurs du nombre 10! est égal à :

A) 20 B) 207 C) 270 D) 10

Question 14

Le reste de la division euclidienne du nombre \( 2^{123} + 3^{121} \) par 11 est égal à :

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Question 15

Soit \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation à variables complexes suivante : \( i \, z^2 + (2-3 \, i) \, z + 5i - 5 = 0 \). \( |z_1|^2 + |z_2|^2 = \)

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30

Question 16

Soit le nombre complexe \( Z = \frac{1}{2}[(1 + i)^4 + (i - 1)^4] \). Argument (\( Z \)) ≡

A) 0 [2π] B) \(\frac{\pi}{4}\) [2π] C) \(\frac{\pi}{2}\) [2π] D) π [2π]

Question 17

Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), on considère les points \( A, B \) et \( C \) de coordonnées \( A(2,6) \), \( B(3,1) \) et \( C(4,7) \). La distance du point \( A \) à la droite \( (BC) \) est égale à :

A) \(\frac{35}{\sqrt{37}}\) B) \(\frac{6}{\sqrt{37}}\) C) \(\frac{11}{\sqrt{37}}\) D) \(\frac{1}{\sqrt{37}}\)

Question 18

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les points \( A (1, -1, 2) \), \( B (3,5,4) \) et la sphère \( S \) telle que : \( A, B \in S \) et le segment \([AB]\) passe par le centre de \( S \). L'équation du plan tangent à \( S \) au point \( C (1, 5, 4) \) est :

A) \( 2x - 3y + 3z + 1 = 0 \) B) \( x - 3y + 2z + 6 = 0 \) C) \(-x + 3y + z - 18 = 0\) D) \(-3x + 2y + 2z - 15 = 0\)

Question 19

Une start-up de jeunes ingénieurs fabrique des capteurs de température dans deux sites différents. En une journée, le site 1 fabrique deux fois plus de capteurs que le site 2. Le pourcentage de capteurs défectueux est de 3% pour le site 1 et de 4% pour le site 2. On prélève un capteur au hasard dans l'ensemble de la production d'une journée. La probabilité que ce capteur provienne du site 1 et est défectueux est :

A) 0,01 B) 0,02 C) 0,03 D) 0,04

Question 20

La probabilité que ce capteur provienne du site 1 sachant qu'il est défectueux est :

A) 0,2 B) 0,4 C) 0,6 D) 0,8

Concours des ENSA 2024

Épreuve de Mathématiques