Correction de l'épreuve de Mathématiques (ENSA 2026)

Soit $ Z$ un nombre complexe tel que : $ Z=\frac{(1+i)^4(1+i\sqrt{3})^3}{(1-i)^5}$.
Un argument de $ Z$ est égale à :

On note S l'ensemble des points $ M$ du plan complexe d'affixe $ z$ vérifiant : $|iz̄+1-2i|=|z-1|$. Alors :

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points $ A(2)$, $ B(-1+i)$ et $ C(3+3i)$. Le triangle ABC est :

L'expression simplifiée de $\sum_{k=2}^n \ln\left(\frac{k^2-1}{k^2}\right)$, $ n\ge2$ est :

On considère la suite $(u_n)_{n\ge1}$ définie par $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{\sqrt{4n^2-k^2}}$. Alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$ est égale à :

Soit $ n$ un entier naturel. On note $ a$ l'entier naturel tel que $0\le a\le 6$ et $3^{2n+1}+2^{4n+2} \equiv a [7]$. La valeur de $ a$ est :

Le PGCD de $2^{445}+7$ et 15 est :

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $ u_0=1$ et $\forall n\ge0$, $ u_{n+1}=u_n+e^{u_n}$. Alors, $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =$

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $ u_0=1$ et $ u_{n+1}=1+\frac{2}{u_n}, \forall n\ge0$. Alors, $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =$

$\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)}{(\pi-2x)^2} =$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\frac{1}{x}} =$

Soit $ f$ la fonction définie sur $]-\infty,-1[ \cup ]1,+\infty[$ par : $ f(x)=x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$. On a : $ f'(x) =$

Soit la fonction définie sur $]-1,+\infty[$ par $ f(x)=\ln(1+x)$. Pour $ n\in\mathbb{N}^*$, $ f^{(n)}$ est la dérivée d'ordre $ n$ de $ f$. Alors $ f^{(n)}(x) =$

Soient $ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}dx$ et $ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}dx$. Alors :

La valeur de l'intégrale $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\sin x}dx$ est :

Soit la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $ f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1+(\ln x)^2}}$. La primitive de $ f$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en 1 est :

Soient $ C$ le cercle de centre $\Omega(2;-1)$ et de rayon $\frac{\sqrt{5}}{2}$, et $ D$ la droite d'équation $2x+y=0$. Une droite tangente à $ C$ et parallèle à $ D$ a pour équation :

On considère la droite $ D$ passant par $ A(1,-2,0)$ et dirigée par le vecteur $(1,1,-1)$. Soit $ B(0,1,-2)$ un point de l'espace. Les coordonnées du point $ H$, projeté orthogonal de $ B$ sur $ D$ sont :

Un étudiant se rend à l'université pour passer un concours. Pour ce trajet, il a le choix entre quatre itinéraires possibles, notés A, B, C et D. Les probabilités qu'il choisisse les itinéraires A, B et C sont respectivement : $ P(A)=\frac{1}{3}$, $ P(B)=\frac{1}{4}$, $ P(C)=\frac{1}{12}$.
Les probabilités d'arriver en retard en empruntant ces trois itinéraires sont données par : $ P(R|A)=\frac{1}{20}$, $ P(R|B)=\frac{1}{10}$, $ P(R|C)=\frac{1}{5}$, où R désigne l'événement arriver en retard.
En revanche, l'itinéraire D présente une fiabilité totale : l'étudiant n'arrive jamais en retard lorsqu'il l'emprunte. Autrement dit : $ P(R|D)=0$.
Sachant que l'étudiant arrive en retard, la probabilité $ p$ qu'il ait emprunté l'itinéraire C est :

Une information de type vrai/faux est transmise à l'intérieur d'une population. À chaque transmission :
- avec une probabilité $ p$ ($0< p< 1$) l'information est transmise fidèlement à la personne suivante ;
- avec une probabilité $1-p$, l'information est transmise de manière contraire.
On note $ p_n$ la probabilité que l'information soit correcte après n transmissions, avec $ p_0=1$. Alors :