Concours Commun d'accès en 1^ère année ENSAM - Session 2014

Pour quelles valeurs de \( m \) le système
\(\begin{cases} -X - Y - 2mZ = 1 \\ X + (1 - m)Y + Z = 2 \\ 2X + 3Y + mZ = 3 \end{cases}\)
admet une solution unique :

Sur \([0, +\infty[\), la fonction \( f \) définie par \( f(x) = |x| + \ln(x + 1) \) est :

Soit \( f \) définie par \( f(0) = \frac{1}{e}, f(e) = 0 \) et \( f(x) = e^{\frac{(1+\ln x)}{1-\ln x}} \). Alors sa courbe \( C_f \) admet :

Dans une boîte se trouvent 14 jetons portant chacun une lettre du nom "SAHARA MAROCAIN". On tire successivement et sans remise 5 jetons. Quelle est la probabilité pour que l'on tire les lettres du nom "SMARA" dans un ordre quelconque ?

Une boîte \( B_1 \) contient 2 jetons numérotés: 1, 3. Une boîte \( B_2 \) contient 2 jetons numérotés: 2, 2. Une boîte \( B_3 \) contient 2 jetons numérotés: 1, 0. On tire au hasard un jeton \( a \) de \( B_1 \), un jeton \( b \) de \( B_2 \), un jeton \( c \) de \( B_3 \). Quelle est la probabilité pour que l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) admet des racines réelles ?

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les deux points \( A(-1,1,1) \) et \( B(7,-5,5) \). Soit \( S \) la sphère dont l'un des diamètre est le segment \( [AB] \). Le plan tangent à \( S \) au point \( C(1,1 ,- 1) \) est :

Soit \( u_n \) la suite de terme général \( u_n = \int_{n}^{n+1} e^{(\frac{x}{n})} dx \). Alors :

Sur \( \mathbb{R}^* \), la fonction \( f(x) = \ln\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) \) admet :

Combien l'équation \( \tan x + \tan 2x + \tan 3x + \tan 4x = 0 \) possède-t-elle de solutions dans \([0,\frac{2\pi}{3}]\) ?

\[ \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{n-1}\left( \cos\left(\frac{2^k\pi}{2^n - 1}\right) \right) = \]