Concours ENSAM 2015 Mathématiques

Q18.

On considère le disque unité $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1\}$ et la proposition P : "$\exists A, B \subset \mathbb{R} ; D = A \times B$". Alors

A) $(1,0) \in D$ et P est vraie B) $(0,1) \in D$ et P est vraie C) P est fausse D) aucune des trois réponses

Q19.

Soient $\begin{cases} u_1 = 1 \\ (u_{n+1})^2 = 4u_n ; \forall n \ge 1 \end{cases}$ et $v_n = \ln\left(\frac{u_n}{4}\right) ; \forall n \ge 1$. La suite $(v_n)$ est

A) arithmétique B) géométrique de raison $1/2$ C) constante D) aucune des trois réponses

Q20.

Soit $f(x) = x - \ln|2e^x - 1|$. Alors

A) $f$ est bornée au voisinage de $-\infty$. B) $f$ n'est pas bornée au voisinage de $+\infty$. C) $f$ est bornée au voisinage de $+\infty$. D) aucune des trois réponses

Q21.

Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) - \frac{\ln(x)}{x+1} + 1$ si $x \in ]0, +\infty[$ et $f(0) = a$ est continue ?

A) $a = -1$ B) $a = \ln(2)$ C) $a = 1$ D) $a = 0$

Q22.

La courbe représentative de la fonction $P$ définie sur $[0,1]$ par $P(x) = x^5 + 3x^3 + 4x - 5$ coupe l'axe des abscisses en :

A) un unique point B) deux points C) aucun point D) aucune des trois réponses

Q23.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = e^x - 2\sqrt{e^x - 1}$ et soit $C$ sa courbe représentative. Alors

A) $f$ est dérivable à gauche de 0 B) $f$ est dérivable à droite de 0 C) $f$ admet une demi-tangente verticale au point $A(0,1)$ dirigée vers le haut D) $f$ admet une demi-tangente verticale au point $A(0,1)$ dirigée vers le bas

Q24.

Soit $f(x) = \frac{e^x - 1}{x} + \ln(x)$. La courbe représentative $C_f$ de $f$

A) admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction asymptotique la droite $y = 0$ B) admet une asymptote oblique en $+\infty$ C) est au-dessus de la droite $y = 0$ D) aucune des trois réponses

Q25.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 1)e^x$. Sa courbe représentative $C_f$

A) est convexe B) est concave C) admet un maximum local en 0 D) admet un point d'inflexion en $A(-1, -2/e)$

Concours d'accès aux API des ENSAM - 2015

Épreuve de Mathématiques (Partie II)