Concours ENSAM 2016 Mathématiques

Question 17

Pour quelles valeurs de \( m \) la matrice \( \begin{pmatrix} 1-m & -3 & 4 \\ 4 & -7-m & 8 \\ 6 & -7 & 7-m \end{pmatrix} \) n'est pas inversible ?

A) -1 et 2 B) uniquement -1 C) -1 et -3 D) aucune des trois réponses

Question 18

Soit \( f \) définie par \( f(0) = 0 \) et \( f(x) = e^{x^2 - x+ \ln|x|} \). Alors :

A) \( C_f \) admet une tangente en (0,0) B) Sur [0,1], \( C_f \) est au-dessus de la droite \( y = x \) C) \( C_f \) admet au point (1,1) une tangente de pente 3 D) aucune des trois réponses

Question 19

Soit \( m \in \mathbb{R}^* \). Soit \( f_m \) définie par \( f_m(0) = m \) et \( f_m(x) = \frac{m}{x^2}e^{\frac{1}{x}}+m \) pour \( x \neq 0 \). Soit \( C_{f_m} \) sa courbe. Alors :

A) \( f_m \) n'est pas dérivable à gauche en 0 B) \( C_{f_m} \) et \( C_{f_{-m}} \) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées C) Pour \( m > 0 \), on a \( \max_{x \in ]-\infty, 0]} f_m(x) = m \left( \frac{2}{\sqrt{e}} + 1 \right) \) D) aucune des trois réponses

Question 20

Dans une boite se trouvent 14 jetons portant chacun une lettre du nom "SAHARA MAROCAIN". Soit l'expérience : « tirer simultanément 5 jetons ». On répète cette expérience 3 fois en remettant à chaque tirage les 5 lettres tirées dans la boîte. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Quelle est la probabilité pour que l'on ait exactement 3 fois le mot "SMARA" avec les 5 lettres tirées ?

A) \( \frac{1000}{(1001)^3} \) B) \( \frac{1001}{(1001)^3} \) C) \( \frac{1002}{(1001)^3} \) D) \( \frac{1003}{(1001)^3} \)

Question 21

Une boite A contient 3 jetons numérotés : 1, 2, 4. Une boite B contient 6 jetons numérotés : 0, 3, 3, 5, 5, 5. On tire au hasard un jeton dans A, on lit le nombre \( a \) porté sur le jeton, puis on remet ce jeton tiré dans A. On effectue la même opération pour B, soit \( b \) le numéro du jeton tiré de B. À ce couple \( (a, b) \) on associe le point \( M(a, b) \). Quelle est la probabilité pour que \( M(a, b) \) soit situé sur l'ellipse d'équation \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1 \) ?

A) \( \frac{1}{6} \) B) \( \frac{2}{6} \) C) \( \frac{3}{6} \) D) aucune des trois réponses

Question 22

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les deux points \( A(1, 1, 1) \) et \( B(-1/2, 3/2, 0) \) et les trois plans : \( (P): x + y + z - 1 = 0 \), \( (Q): x - y + z + 2 = 0 \) et \( (H) \) le plan passant par \( A \) et perpendiculaire à \( (P) \) et à \( (Q) \). Soit \( S \) la sphère de centre \( B \) et passant par \( A \). Alors l'intersection de \( S \) et \( (H) \) est :

A) Le cercle de centre \( \left( \frac{-1}{4}, \frac{3}{2}, \frac{1}{4} \right) \) et de rayon \( \sqrt{\frac{55}{8}} \) B) Le plus grand cercle dans la sphère C) L'ensemble vide D) Aucune des trois réponses

Question 23

Soit \( n \) un entier naturel non nul et \( (I_n)_n \) la suite définie par \( I_n = \int_1^0 x e^{-n x^2} dx \). Choisir la bonne réponse :

A) \( I_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{e^n}\right)\left(1 + \frac{1}{e^n}\right) \) B) \( (I_n)_n \) est minorée par \( \frac{1}{2} \) C) \( (I_n)_n \) converge vers 0 D) Aucune des trois réponses

Question 24

Soit l'équation \( (E): \sin(x) = \cos(2x) \). On cherche le nombre de solutions de \( (E) \) appartenant à \( [0, 2\pi] \) :

A) Une solution B) Deux solutions C) Trois solutions D) Plus que quatre solutions

Question 25

Trouver la fonction de chaque flèche pour compléter les derniers cercles :

A) 18 et 9 B) 8 et 12 C) 17 et 9 D) Aucune des réponses

Concours Commun d'accès en 1^ère année ENSAM - Session 2016

Épreuve de Mathématiques

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