Concours ENSAM 2021 Mathématiques

Q1

Soit a un réel. On considère la suite \( (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \) telle que : \( X_{n+1} = \frac{2}{3}X_n + \frac{1}{3}a^2 \) et \( X_0 = 0 \).
En étudiant la nature de la suite \( (Y_n)_{n \in \mathbb{N}} \) de terme général \( Y_n = X_n - a^2 \), la limite de \( (X_n) \) vaut :

A) \( 0 \) B) \( \frac{1}{3}a^2 \) C) \( \frac{2}{3}a^2 \) D) \( a^2 \) E) Autre réponse

Q2

La suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par : \( u_0 = 3 \) et \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n - 1} \) :

A) est géométrique de raison 2 B) est arithmétique de raison 2 C) est périodique de période 2 D) est stationnaire E) Autre réponse

Q3

\( \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \right) =\)

A) 0 B) \( \frac{1}{4} \) C) \( \frac{1}{6} \) D) \( + \infty \) E) Autre réponse

Q4

On suppose que le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Soient A(a), B(b) et C(c) trois points non alignés. Une condition suffisante pour que le triangle (ABC) soit équilatéral est :

A) \( 2a = (1-i\sqrt{3})b + (1+i\sqrt{3})c \) B) \( 2a = (1-i\sqrt{3})b + (1-i\sqrt{3})c \) C) \( 2a = (1+i\sqrt{3})b - (1+i\sqrt{3})c \) D) \( 2a = (1+i\sqrt{3})b + (1-i\sqrt{3})c \) E) Autre réponse

Q5

Soient \( (a, b) \in \mathbb{C}^2 \) et \( j = e^{i\frac{2\pi}{3}} \). Quelles sont les solutions complexes de l'équation \( z^3 - 3abz + a^3 + b^3 = 0 \) ?

A) \( -a-b, -aj+bj^2, -aj^2-bj \) B) \( -a-b, -aj-bj^2, -aj^2-bj \) C) \( -aj-bj^2, -aj^2+bj, -a-b \) D) \( aj-bj^2, -a-b, aj^2-bj \) E) Autre réponse

Question 6

Soient \( z_1, z_2 \) et \( z_3 \) les solutions dans \( \mathbb{C} \) de l'équation \( z^3 - (6+3i)z^2 + (9+12i)z - 9(2+3i) = 0 \).
On pose \( L = z_3 - z_2 \). Sachant que \( z_1 \) est un imaginaire pur, que vaut \( L \) ?

A) \( L = -2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3} \) B) \( L = 2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3} \) C) \( L = -2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3} \) D) \( L = 2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3} \) E) Autre réponse

Question 7

P et Q deux assertions. Quelle est l'assertion toujours fausse (que P, Q soient vraies ou fausses) ?

A) \( (P \Rightarrow Q) \text{ ou } (Q \Rightarrow P) \) B) \( (P \Rightarrow Q) \text{ ou } (P \text{ et non} (Q) \) C) \( (P \Leftrightarrow Q) \text{ ou } (\text{ non}(P) \Leftrightarrow \text{ non}(Q)) \) D) \( P \text{ ou } (P \Rightarrow Q) \) E) Autre réponse

Question 8

Soit l'opérateur logique \( \nabla \) définit pour deux assertions P et Q par :
\( P \nabla Q \Leftrightarrow \) une et seulement une des deux assertions P ou Q est vraie. Choisir la bonne réponse :

A) \( P \text{ ou } Q \Rightarrow P \nabla Q \) B) \( \text{non}(P) \text{ ou } Q \Rightarrow P \nabla Q \) C) \( P \text{ et } Q \Rightarrow (\text{non}(P) \nabla \text{ non}(Q)) \) D) \( P \text{ et } Q \Rightarrow (\text{non}(P) \nabla Q) \) E) Autre réponse

Question 9

Soit P un polynôme qui admet au moins n racines distinctes strictement supérieures à 1. Alors le polynôme \( Q(x) = (x^2+1)P(x)P'(x) + x((P(x))^2 + (P'(x))^2) \) admet au moins m racines réelles distinctes où :

A) \( m = 2(n-1) \) B) \( m = 2(n - \frac{1}{2}) \) C) \( m = 2n \) D) \( m = 2(n + \frac{1}{2}) \) E) Autre réponse

Question 10

Soit \( F_m(x) = \frac{x+3}{(x+m)(x+2)^2} \) où m est un paramètre réel. Soient a, b et c trois réels tels que \( F_m(x) = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+2} + \frac{c}{(x+2)^2} \). Choisir la bonne réponse :

A) \( a+b+c = \frac{1}{-m} \) B) \( a+b+c = \frac{1}{1-m} \) C) \( a+b+c = \frac{1}{2-m} \) D) \( a+b+c = \frac{1}{3-m} \) E) Autre réponse

Question 11

Soient \( A(X) = X^6 - 7X^5 + 10X^4 + 5X^3 - aX^2 + 5 \) et \( B(X) = X^3 - 5X^2 + b \) où a et b deux réels. Soit \( A = BQ + R \) la division euclidienne de A par B. Choisir la bonne réponse :

A) 2 est le coefficient du monôme \( X \) de Q. B) \( b^2+5b+5 \) est le coefficient constant de R. C) \( b-4 \) est la somme des coefficients du polynôme Q. D) \( b^2-8b+30 \) est la somme des coefficients du polynôme R. E) Autre réponse

Question 12

Soit f la fonction définie sur \( \mathcal{D}_f \) par \( f(x) = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) \). Choisir la bonne réponse :

A) \( D_f = \mathbb{R}^+ \) B) \( (\frac{1}{2},f(\frac{1}{2})) \)est un point d'inflexion de f. C) f est une fonction paire. D) f est une fonction impaire. E) Autre réponse

Question 13

Soit la fonction définie par \( f(x) = \ln(\varepsilon x + \sqrt{2x^2 + 4}) \) où \( \varepsilon \) est un paramètre réel. Le point (0, \(\ln 2\)) est un centre de symétrie de la courbe de f si et seulement si :

A) \( \exists! \, \varepsilon \in ]2, +\infty[ \) B) \( \exists! \, \varepsilon \in ]-\infty, -2[ \) C) Ils existent deux valeurs de \( \varepsilon \) dans [-1, 1]. D) \( \varepsilon^3 + 3\varepsilon^2 - 2\varepsilon - 6 = 0 \) E) Autre réponse

Question 14

On considère la fonction f définie par \( f(x) = x \ln|e^x - 1| \). Choisir la mauvaise réponse :

A) f est prolongeable par continuité en 0. B) f est concave sur \( ]0, +\infty[ \). C) f admet au moins un point d'inflexion. D) f' est croissante sur \( ]0, +\infty[ \). E) Autre réponse

Question 15

Soit \( f : ]-\alpha, \alpha[ \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \) une fonction où \( \alpha \in \mathbb{R}^{*+} \). Choisir la mauvaise réponse :

A) \( \lim_{x \to 0} f(x) = l \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(\sin x) = l \) B) \( \lim_{x \to 0}(f(x) + f(2x)) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) \) existe. C) \( \lim_{x \to 0}\left(f(x) + \frac{1}{|f(x)|}\right) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = -1 \) D) \( \lim_{x \to 0}f(x)f(2x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) \) existe. E) Autre réponse

Question 16

On pose \( L = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} - \sqrt{x}) \). Choisir la bonne réponse :

A) \( L = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \) B) \( L = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \) C) \( L = \frac{1}{2} \) D) \( L = +\infty \) E) Autre réponse

Question 17

La fonction définie par \[ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x \le 0 \end{cases} \]

A) est non dérivable en 0. B) vérifie \( f''(0) = -\frac{1}{e} \). C) vérifie \( \lim_{x \to 0^+} f''(x) = 1 \). D) Admet une branche parabolique en \( +\infty \). E) Autre réponse

Question 18

Calculer \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx \)

A) \( I = -\frac{\ln 2}{2} \) B) \( I = -\ln 2 \) C) \( I = \ln 2 \) D) \( I = \frac{\ln 2}{2} \) E) Autre réponse

Question 19

Calculer \( \lim_{x \to 0^+} \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} dt \right)^{\frac{1}{x^2}} \)

A) 1 B) 0 C) e D) \( +\infty \) E) Autre réponse

Question 20

Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \int_{x}^{2x} \frac{dx}{\sqrt{t^4+1}} \)

A) 0 B) 1 C) 1/2 D) \( +\infty \) E) Autre réponse

Question 21

Soit \( (u_n) \) une suite définie par : \( u_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^n(x)}{\cos^2(x)} dx \). Choisir la bonne réponse :

A) \( (u_n) \) est croissante B) \( (u_n) \) est divergente C) \( (u_n) \) est géométrique D) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \) E) Autre réponse

Question 22

Le nombre de solutions de l'équation \( \sin(3x)\cos(x) + \sin(x)\cos(3x) = -1/2 \) sur l'intervalle \([-3, 2]\) est :

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) Autre réponse

Question 23

Soit A et B deux événements tels que \( P(A) = P(B) = \frac{1}{4} \) et \( P(A \cup B) = \frac{3}{8} \). Alors \( P_{\bar{B}}(\bar{A}) \) vaut :

A) 4/5 B) 5/8 C) 7/8 D) 1/5 E) Autre réponse

Question 24

Un candidat se présentant au concours des ENSAM 2021 décide de se baser uniquement sur le hasard. Il choisit, alors, les réponses au hasard et d'une manière indépendante l'une à autre. La probabilité de donner un nombre de réponses correctes au moins égale au nombre de réponses fausses vaut :

A) \( 2,05 \times 10^{-6} \) B) \( 5,88 \times 10^{-6} \) C) \( 2,3 \times 10^{-6} \) D) \( 2,7 \times 10^{-6} \) E) Autre réponse

Question 25

On pose \( L_2 = \lim_{x \to 1} (x-1)\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right) \). Choisir la meilleure approximation de \( L_2 \) :

A) 0.6367 B) 0.6366 C) 0.6365 D) 0.6364 E) Autre réponse

Question 26

Soit la figure ci-contre, où la courbe P est une parabole d'équation \( y = mx^2 \), avec \( m > 0 \). A et B sont deux points d'abscisse respectivement a et b (\( a < b \)). Soit \( A_D \) l'aire du domaine hachuré (compris entre la courbe P et le segment [AB]). Choisir la bonne réponse :

A) \( A_D = m(b-a)\frac{a^2+b^2}{2} \) B) \( A_D = m\frac{a^2+ab+b^2}{3} \) C) \( A_D = m\frac{(b-a)^3}{6} \) D) \( A_D = m\frac{(b-a)^3}{4} \) E) Autre réponse

Question 27

Donner le déterminant du système (S) :
\[ (S) : \begin{cases} X + 3Y + 2mZ = -1 \\ -X + (1-2m)Y + 2Z = 2 \\ 2X + 3Y + mZ = 3 \end{cases} \]

A) \( -6m^2+6m+6 \) B) \( -6m^2+6m-6 \) C) \( 6m^2-6m+6 \) D) \( -6m^2-6m+6 \) E) Autre réponse

Question 28

Une certaine année est un nombre qui s'écrit ABCD, chaque lettre représentant un chiffre unique. Ce nombre est tel que : ABCD + ABC + AB = 2021. Quelle est l'année ABCD ?

A) 1542 B) 1731 C) 1641 D) L'année ABCD n'existe pas E) Autre réponse

Question 29

Trouver le nombre qui remplace le point d'interrogation.

218	275	114
111	160	98
220	372	304
400	578	?

A) 356 B) 524 C) 248 D) 180 E) Autre réponse

Q30

La roue A possède 39 dents, la roue B 17 dents et la roue C 26 dents. On fait tourner la roue A d'exactement 18 tours. Combien de tours la roue C fera-t-elle ?

A) 27 B) 29 C) 31 D) 32 E) Autre réponse

Concours d'accès aux API des ENSAM Maroc 2021

Épreuve de Mathématiques