Q01
Soit a un réel. On considère la suite \( (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \) telle que : \( X_{n+1} = \frac{2}{3}X_n + \frac{1}{3}a^2 \) et \( X_0 = 0 \).
En étudiant la nature de la suite \( (Y_n)_{n \in \mathbb{N}} \) de terme général \( Y_n = X_n - a^2 \), la limite de \( (X_n) \) vaut :
- A) A) \( 0 \)
- B) B) \( \frac{1}{3}a^2 \)
- C) C) \( \frac{2}{3}a^2 \)
- D) D) \( a^2 \)
- E) E) Autre réponse
Q02
La suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par : \( u_0 = 3 \) et \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n - 1} \) :
- A) A) est géométrique de raison 2
- B) B) est arithmétique de raison 2
- C) C) est périodique de période 2
- D) D) est stationnaire
- E) E) Autre réponse
Q03
\( \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \right) =\)
- A) A) 0
- B) B) \( \frac{1}{4} \)
- C) C) \( \frac{1}{6} \)
- D) D) \( + \infty \)
- E) E) Autre réponse
Q04
On suppose que le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Soient A(a), B(b) et C(c) trois points non alignés. Une condition suffisante pour que le triangle (ABC) soit équilatéral est :
- A) A) \( 2a = (1-i\sqrt{3})b + (1+i\sqrt{3})c \)
- B) B) \( 2a = (1-i\sqrt{3})b + (1-i\sqrt{3})c \)
- C) C) \( 2a = (1+i\sqrt{3})b - (1+i\sqrt{3})c \)
- D) D) \( 2a = (1+i\sqrt{3})b + (1-i\sqrt{3})c \)
- E) E) Autre réponse
Q05
Soient \( (a, b) \in \mathbb{C}^2 \) et \( j = e^{i\frac{2\pi}{3}} \). Quelles sont les solutions complexes de l'équation \( z^3 - 3abz + a^3 + b^3 = 0 \) ?
- A) A) \( -a-b, -aj+bj^2, -aj^2-bj \)
- B) B) \( -a-b, -aj-bj^2, -aj^2-bj \)
- C) C) \( -aj-bj^2, -aj^2+bj, -a-b \)
- D) D) \( aj-bj^2, -a-b, aj^2-bj \)
- E) E) Autre réponse
Q06
Soient \( z_1, z_2 \) et \( z_3 \) les solutions dans \( \mathbb{C} \) de l'équation \( z^3 - (6+3i)z^2 + (9+12i)z - 9(2+3i) = 0 \).
On pose \( L = z_3 - z_2 \). Sachant que \( z_1 \) est un imaginaire pur, que vaut \( L \) ?
- A) \( L = =2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3} \)
- B) \( L = 2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3} \)
- C) \( L = -2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3} \)
- D) \( L = 2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3} \)
- E) Autre réponse
Q07
P et Q deux assertions. Quelle est l'assertion toujours fausse (que P, Q soient vraies ou fausses) ?
- A) \( (P \Rightarrow Q) \text{ ou } (Q \Rightarrow P) \)
- B) \( (P \Rightarrow Q) \text{ ou } (P \text{ et non} (Q) \)
- C) \( (P \Leftrightarrow Q) \text{ ou } (\text{ non}(P) \Leftrightarrow \text{ non}(Q)) \)
- D) \( P \text{ ou } (P \Rightarrow Q) \)
- E) Autre réponse
Q08
Soit l'opérateur logique \( \nabla \) définit pour deux assertions P et Q par :
\( P \nabla Q \Leftrightarrow \) une et seulement une des deux assertions P ou Q est vraie. Choisir la bonne réponse :
- A) \( P \text{ ou } Q \Rightarrow P \nabla Q \)
- B) \( \text{non}(P) \text{ ou } Q \Rightarrow P \nabla Q \)
- C) \( P \text{ et } Q \Rightarrow (\text{non}(P) \nabla \text{ non}(Q)) \)
- D) \( P \text{ et } Q \Rightarrow (\text{non}(P) \nabla Q) \)
- E) Autre réponse
Q09
Soit P un polynôme qui admet au moins n racines distinctes strictement supérieures à 1. Alors le polynôme \( Q(x) = (x^2+1)P(x)P'(x) + x((P(x))^2 + (P'(x))^2) \) admet au moins m racines réelles distinctes où :
- A) \( m = 2(n-1) \)
- B) \( m = 2(n - \frac{1}{2}) \)
- C) \( m = 2n \)
- D) \( m = 2(n + \frac{1}{2}) \)
- E) Autre réponse
Q10
Soit \( F_m(x) = \frac{x+3}{(x+m)(x+2)^2} \) où m est un paramètre réel. Soient a, b et c trois réels tels que \( F_m(x) = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+2} + \frac{c}{(x+2)^2} \). Choisir la bonne réponse :
- A) \( a+b+c = \frac{1}{-m} \)
- B) \( a+b+c = \frac{1}{1-m} \)
- C) \( a+b+c = \frac{1}{2-m} \)
- D) \( a+b+c = \frac{1}{3-m} \)
- E) Autre réponse
Q11
Soient \( A(X) = X^6 - 7X^5 + 10X^4 + 5X^3 - aX^2 + 5 \) et \( B(X) = X^3 - 5X^2 + b \) où a et b deux réels. Soit \( A = BQ + R \) la division euclidienne de A par B. Choisir la bonne réponse :
- A) 2 est le coefficient du monôme \( X \) de Q.
- B) \( b^2+5b+5 \) est le coefficient constant de R.
- C) \( b-4 \) est la somme des coefficients du polynôme Q.
- D) \( b^2-8b+30 \) est la somme des coefficients du polynôme R.
- E) Autre réponse
Q12
Soit f la fonction définie sur \( \mathcal{D}_f \) par \( f(x) = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) \). Choisir la bonne réponse :
- A) \( D_f = \mathbb{R}^+ \)
- B) \( (\frac{1}{2},f(\frac{1}{2})) \)est un point d'inflexion de f.
- C) f est une fonction paire.
- D) f est une fonction impaire.
- E) Autre réponse
Q13
Soit la fonction définie par \( f(x) = \ln(\varepsilon x + \sqrt{2x^2 + 4}) \) où \( \varepsilon \) est un paramètre réel. Le point (0, \(\ln 2\)) est un centre de symétrie de la courbe de f si et seulement si :
- A) \( \exists! \, \varepsilon \in ]2, +\infty[ \)
- B) \( \exists! \, \varepsilon \in ]-\infty, -2[ \)
- C) Ils existent deux valeurs de \( \varepsilon \) dans [-1, 1].
- D) \( \varepsilon^3 + 3\varepsilon^2 - 2\varepsilon - 6 = 0 \)
- E) Autre réponse
Q14
On considère la fonction f définie par \( f(x) = x \ln|e^x - 1| \). Choisir la mauvaise réponse :
- A) f est prolongeable par continuité en 0.
- B) f est concave sur \( ]0, +\infty[ \).
- C) f admet au moins un point d'inflexion.
- D) f' est croissante sur \( ]0, +\infty[ \).
- E) Autre réponse
Q15
Soit \( f : ]-\alpha, \alpha[ \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \) une fonction où \( \alpha \in \mathbb{R}^{*+} \). Choisir la mauvaise réponse :
- A) \( \lim_{x \to 0} f(x) = l \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(\sin x) = l \)
- B) \( \lim_{x \to 0}(f(x) + f(2x)) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) \) existe.
- C) \( \lim_{x \to 0}\left(f(x) + \frac{1}{|f(x)|}\right) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = -1 \)
- D) \( \lim_{x \to 0}f(x)f(2x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) \) existe.
- E) Autre réponse
Q16
On pose \( L = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} - \sqrt{x}) \). Choisir la bonne réponse :
- A) \( L = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \)
- B) \( L = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \)
- C) \( L = \frac{1}{2} \)
- D) \( L = +\infty \)
- E) Autre réponse
Q17
La fonction définie par \[ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x \le 0 \end{cases} \]
- A) est non dérivable en 0.
- B) vérifie \( f''(0) = -\frac{1}{e} \).
- C) vérifie \( \lim_{x \to 0^+} f''(x) = 1 \).
- D) Admet une branche parabolique en \( +\infty \).
- E) Autre réponse
Q18
Calculer \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx \)
- A) \( I = -\frac{\ln 2}{2} \)
- B) \( I = -\ln 2 \)
- C) \( I = \ln 2 \)
- D) \( I = \frac{\ln 2}{2} \)
- E) Autre réponse
Q19
Calculer \( \lim_{x \to 0^+} \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} dt \right)^{\frac{1}{x^2}} \)
- A) 1
- B) 0
- C) \( e \)
- D) \( +\infty \)
- E) Autre réponse
Q20
Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \int_{x}^{2x} \frac{dx}{\sqrt{t^4+1}} \)
- A) 0
- B) 1
- C) \( \frac{1}{2} \)
- D) \( +\infty \)
- E) Autre réponse
Q21
Soit \( (u_n) \) une suite définie par : \( u_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^n(x)}{\cos^2(x)} dx \). Choisir la bonne réponse :
- A) \( (u_n) \) est croissante
- B) \( (u_n) \) est divergente
- C) \( (u_n) \) est géométrique
- D) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \)
- E) Autre réponse
Q22
Le nombre de solutions de l'équation \( \sin(3x)\cos(x) + \sin(x)\cos(3x) = -1/2 \) sur l'intervalle \([-3, 2]\) est :
- A) 4
- B) 3
- C) 2
- D) 1
- E) Autre réponse
Q23
Soit A et B deux événements tels que \( P(A) = P(B) = \frac{1}{4} \) et \( P(A \cup B) = \frac{3}{8} \). Alors \( P_{\bar{B}}(\bar{A}) \) vaut :
- A) 4/5
- B) 5/8
- C) 7/8
- D) 1/5
- E) Autre réponse
Q24
Un candidat se présentant au concours des ENSAM 2021 décide de se baser uniquement sur le hasard. Il choisit, alors, les réponses au hasard et d'une manière indépendante l'une à autre. La probabilité de donner un nombre de réponses correctes au moins égale au nombre de réponses fausses vaut :
- A) \( 2,05 \times 10^{-6} \)
- B) \( 5,88 \times 10^{-6} \)
- C) \( 2,3 \times 10^{-6} \)
- D) \( 2,7 \times 10^{-6} \)
- E) Autre réponse
Q25
On pose \( L_2 = \lim_{x \to 1} (x-1)\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right) \). Choisir la meilleure approximation de \( L_2 \) :
- A) 0.6367
- B) 0.6366
- C) 0.6365
- D) 0.6364
- E) Autre réponse
Q26
Soit la figure ci-contre, où la courbe P est une parabole d'équation \( y = mx^2 \), avec \( m > 0 \). A et B sont deux points d'abscisse respectivement a et b (\( a < b \)). Soit \( A_D \) l'aire du domaine hachuré (compris entre la courbe P et le segment [AB]). Choisir la bonne réponse :
- A) \( A_D = m(b-a)\frac{a^2+b^2}{2} \)
- B) \( A_D = m\frac{a^2+ab+b^2}{3} \)
- C) \( A_D = m\frac{(b-a)^3}{6} \)
- D) \( A_D = m\frac{(b-a)^3}{4} \)
- E) Autre réponse
Q27
Donner le déterminant du système (S) :
\[ (S) : \begin{cases} X + 3Y + 2mZ = -1 \\ -X + (1-2m)Y + 2Z = 2 \\ 2X + 3Y + mZ = 3 \end{cases} \]
- A) \( -6m^2+6m+6 \)
- B) \( -6m^2+6m-6 \)
- C) \( 6m^2-6m+6 \)
- D) \( -6m^2-6m+6 \)
- E) Autre réponse
Q28
Une certaine année est un nombre qui s'écrit ABCD, chaque lettre représentant un chiffre unique. Ce nombre est tel que : ABCD + ABC + AB = 2021. Quelle est l'année ABCD ?
- A) 1542
- B) 1731
- C) 1641
- D) L'année ABCD n'existe pas
- E) Autre réponse
Q29
Trouver le nombre qui remplace le point d'interrogation.
| 218 | 275 | 114 |
| 111 | 160 | 98 |
| 220 | 372 | 304 |
| 400 | 578 | ? |
- A) 356
- B) 524
- C) 248
- D) 180
- E) Autre réponse
Q30
La roue A possède 39 dents, la roue B 17 dents et la roue C 26 dents. On fait tourner la roue A d'exactement 18 tours. Combien de tours la roue C fera-t-elle ?
- A) A) 27
- B) B) 29
- C) C) 31
- D) D) 32
- E) E) Autre réponse
