Question 1
Pour \( n \in \mathbb{N} \), soit \( S_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^3+2} + \cdots + \frac{n}{n^4+n} \). A l'aide d'un encadrement de \( S_n \), choisir la bonne réponse.
- A) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = 0\)
- B) \( (S_n) \) est divergente
- C) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{2}\)
- D) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = 1\)
- E) Autre réponse
Question 2
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) avec \(||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \, cm\), on considère le point \(A(1, -2, -1)\) et la droite \((D)\) d'équation cartésienne \(\frac{x-1}{2} = y + 1 = z\). La distance du point \(A\) à la droite \((D)\) est égale à :
- A) \(\frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}\)
- B) \(\frac{2\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}\)
- C) \(\frac{\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}\)
- D) \(\frac{\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}\)
- E) \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}\)
- F) Autre réponse
Question 3
Pour \(z \in \mathbb{C}\), on note par \(M(z)\) le point du plan complexe d'affixe \(z\). L'ensemble \(A = \{M(z) : (z - 3i)(z̄ + 3i) = 2\}\) est :
- A) un demi-plan
- B) une droite
- C) union de deux demi-droites
- D) un cercle
- E) Autre réponse
Question 4
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0) = 0\) et \(f'(0) = 1\). La limite \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)f(2x)...f(nx)}{x^n}\) est égale à :
- A) \( n \)
- B) \(\frac{n}{n!}\)
- C) \(\frac{1}{n}\)
- D) \( n! \)
- E) \( 1 \)
- F) Autre réponse
Question 5
Soit \(f(x) = \frac{{\ln(x)}{\sqrt{x}} - \frac{x e^x}{1+ e^x}). La courbe représentative \(c_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :
- A) une asymptote oblique d'équation \( y = -x \)
- B) une asymptote oblique d'équation \( y = x \)
- C) une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation \( y = -x \)
- D) une asymptote verticale
- E) Autre réponse
Question 6
Soit \(g\) la fonction définie sur \(R\) par \(g(x) = \frac{x}{1-e^\frac{1}{x}}\) si \(x \neq 0\) et \(g(0) = 0\), et soit \(c_g\) la courbe représentative de \(g\). Choisir la bonne réponse.
- A) \( C_g \) admet une demi-tangente oblique à l'origine
- B) \( C_g \) admet une tangente horizontale à l'origine
- C) \( C_g \) admet une tangente verticale à l'origine
- D) \( g \) est non bornée au voisinage de 0
- E) Autre réponse
Question 7
Soit \(u_0 = \frac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = u_n^2 + \frac{3}{16}\), \(\forall n \geq 0\). Sachant que la suite \((u_n)_n\) est décroissante, choisir la bonne réponse :
- A) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{4}\)
- B) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{3}\)
- C) \((u_n)\) est divergente
- D) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{4}\)
- E) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\)
- F) Autre réponse
Question 8
Pour \(n \in \mathbb{N}\), soit \(I_n = \int_0^1 (1 - x)^n e^{-nx} dx\). Choisir la bonne réponse.
- A) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{1}{e}\)
- B) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 0\)
- C) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 1\)
- D) \((I_n)\) est divergente
- E) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = e\)
- F) Autre réponse
Question 9
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), le polynôme \(P = nx^{n+1} - (n + 1)x^n + 1\) est :
- A) divisible par \((x - 1)^2\)
- B) divisible par \( x - 2 \)
- C) non divisible par \( x - 1 \)
- D) Autre réponse
Question 10
Dans \(\mathbb{R}^*\), l'équation \(e^{-\sqrt{2}x} - \sqrt{2} x + \sqrt{3} = 0\) admet :
- A) plus de trois solutions
- B) deux solutions distinctes
- C) une solution unique
- D) aucune solution
- E) Autre réponse
Question 11
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) telle que \(f(2021x + 2022) \leq 2021x \leq f(2021x) + 2022\). Choisir la bonne réponse.
- A) \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(2021) \geq -1 \)
- B) \( f \) est constante
- C) \( f \) est un polynôme de degré 1
- D) \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(2022) \leq 0 \)
- E) Autre réponse
Question 12
L'inéquation \(\sin(x) + 2\sin(y) + 3 \leq 0\) admet dans \(]-\pi, \pi]^2\) :
- A) une infinité de solutions
- B) une solution unique
- C) aucune solution
- D) deux solutions distinctes
- E) Autre réponse
Question 13
Dans \(\mathbb{N}^*\), l'équation \(x^2 - y^2 - 21 = 0\) admet :
- A) aucune solution
- B) une infinité de solutions
- C) deux solutions distinctes
- D) une solution unique
- E) Autre réponse
Question 14
Soit \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) tels que \(a^3 + b^3 + c^3\) est divisible par \(3\), et soit \(S = a + b + c\). Sachant que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), le nombre \(3\) divise \(n^3 - n\), choisir la bonne réponse.
- A) \( S \) est multiple de 3
- B) \( S \) et 3 sont premiers entre eux
- C) le reste de la division euclidienne de \( S \) par 3 est 2
- D) autre réponse
Question 15
Le nombre entier naturel \(1^{2021} + 2^{2021} + \cdots + 4^{2021}\) est :
- A) multiple de 5
- B) impair
- C) non divisible par 5
- D) premier
- E) autre réponse
