Concours ENSAM 2023 Mathématiques

Question 01

Dans \( [1; \pi] \), l'équation suivante : \( (E): \ln(x)e^x - \cos(x) - 1 = 0 \) admet :

A) Admet une infinité de solutions B) n'admet pas de solutions réelles C) admet une solution réelle unique D) Admet exactement quatre solutions réelles E) Autre réponse

Question 02

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose \( S_n = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} - \dots - \frac{1}{3^n} \). Alors \( \lim_{n \to +\infty} S_n \) est égale à :

A) 1 B) 2 C) \( \frac{1}{2} \) D) \( +\infty \) E) Autre réponse

Question 03

Soit \( (u_n) \) une suite telle que \( u_0 = \frac{1}{2} \) et \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \sqrt[3]{u_n^2 + 2u_n} \). Sachant que la suite est croissante, choisir la bonne réponse :

A) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \) B) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 2 \) C) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = -1 \) D) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \) E) Autre réponse

Question 04

Soit f une fonction dérivable en 0 telle que \( f(0) = 0 \) et \( f'(0) = \frac{1}{2} \). Alors \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x) + 2f(\frac{x}{2}) + \dots + nf(\frac{x}{n})} = \)

A) \( \frac{2}{n} \) B) \( \frac{n}{2} \) C) \( \frac{1}{e} \) D) 1 E) Autre réponse

Question 05

Soit f une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = \frac{e^{x^2} - \cos x}{x} \) si \( x \neq 0 \) et \( f(0) = 0 \). Et \( (C_f) \) la courbe représentative de f. Choisir la bonne réponse :

A) \( (C_f) \) admet au point O une tangente d'équation \( y = \frac{5}{2}x \) B) \( (C_f) \) admet au point O une tangente d'équation \( y = \frac{1}{2}x \) C) \( (C_f) \) admet au point O une tangente d'équation \( y = \frac{2}{3}x \) D) \( (C_f) \) admet au point O une tangente d'équation \( y = \frac{3}{2}x \) E) Autre réponse

Question 06

Soit f une fonction définie par : \( f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(x)}{1+x} \). Alors \( (C_f) \) la courbe représentative de f admet en \( +\infty \) :

A) une asymptote oblique B) une branche parabolique de direction (Ox) C) une branche parabolique de direction (Oy) D) une asymptote horizontale E) Autre réponse

Question 07

Pour \( z \in \mathbb{C} \), on note \( M(z) \) le point du plan complexe d'affixe z. L'ensemble des points M du plan tel que \( 2z + 2z̄ + zz̄ = 0 \) est :

A) Cercle de centre \( A(-2) \) et de rayon 2 B) Cercle de centre \( A(-2) \) et de rayon 3 C) La droite (AB) tels que \( A(-2) \) et \( B(2-i) \) D) Le cercle de diamètre [AB] tels que \( A(-2) \) et \( B(2-i) \) E) Autre réponse

Question 08

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) d'unité 1 cm. On considère le plan (P) passant par O et de vecteur normal \( \vec{n}(2; -1; 3) \). Alors la distance du point \( A(1; 0; -1) \) au plan (P) est égale à :

A) \( \frac{1}{\sqrt{14}} \) B) \( \frac{3}{\sqrt{14}} \) C) \( \frac{5}{\sqrt{14}} \) D) \( \frac{3}{\sqrt{13}} \) E) Autre réponse

Question 10

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et \( a \) un réel, soit le polynôme \( P(X) = X^n + aX^{n-1} + aX^{n-2} + \dots + aX + a \). Le nombre \( P(1-a) = \)

A) 1 B) \( na \) C) \( (n+1)a \) D) \( (n+2)a \) E) Autre réponse

Question 11

Soit f une fonction de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R}^* \) telle que \( \forall x, y \in \mathbb{R}, f(x-y) = f(x)f(y) \). Alors :

A) \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x \) B) \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 1 \) C) \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 2 \) D) \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \frac{x}{2} \) E) Autre réponse

Question 12

Dans \( ]-\pi; \pi[ \), l'équation suivante : \( (E): 1 + \cos(x) + 2\cos(2x) = 0 \) admet :

A) une infinité de solutions B) n'admet pas de solutions réelles C) admet une solution réelle unique D) admet exactement quatre solutions réelles E) Autre réponse

Question 13

Dans \( \mathbb{Z}^2 \), l'équation suivante : \( (E): x^2 - 3y^2 = 8 \) admet :

A) une infinité de solutions B) n'admet pas de solutions C) admet une solution unique D) admet exactement quatre solutions E) Autre réponse

Question 14

Le reste de la division de \( 2022^{2023} \) par 7 est :

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Question 15

Le chiffre des unités du nombre \( 4444^{6666} + 6666^{4444} \) est :

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Concours d'accès au cycle d'ingénieurs ENSAM 2023

Épreuve de Mathématiques