Correction de l'épreuve de Mathématiques 2023

Dans \( [1; \pi] \), l'équation suivante : \( (E): \ln(x)e^x - \cos(x) - 1 = 0 \) admet :

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose \( S_n = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} - \dots - \frac{1}{3^n} \). Alors \( \lim_{n \to +\infty} S_n \) est égale à :

Soit \( (u_n) \) une suite telle que \( u_0 = \frac{1}{2} \) et \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \sqrt[3]{u_n^2 + 2u_n} \). Sachant que la suite est croissante, choisir la bonne réponse :

Soit f une fonction dérivable en 0 telle que \( f(0) = 0 \) et \( f'(0) = \frac{1}{2} \). Alors \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x) + 2f(\frac{x}{2}) + \dots + nf(\frac{x}{n})} = \)

Soit f une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = \frac{e^{x^2} - \cos x}{x} \) si \( x \neq 0 \) et \( f(0) = 0 \). Et \( (C_f) \) la courbe représentative de f. Choisir la bonne réponse :

Soit f une fonction définie par : \( f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(x)}{1+x} \). Alors \( (C_f) \) la courbe représentative de f admet en \( +\infty \) :

Pour \( z \in \mathbb{C} \), on note \( M(z) \) le point du plan complexe d'affixe z. L'ensemble des points M du plan tel que \( 2z + 2z̄ + zz̄ = 0 \) est :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) d'unité 1 cm. On considère le plan (P) passant par O et de vecteur normal \( \vec{n}(2; -1; 3) \). Alors la distance du point \( A(1; 0; -1) \) au plan (P) est égale à :

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et \( a \) un réel, soit le polynôme \( P(X) = X^n + aX^{n-1} + aX^{n-2} + \dots + aX + a \). Le nombre \( P(1-a) = \)

Soit f une fonction de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R}^* \) telle que \( \forall x, y \in \mathbb{R}, f(x-y) = f(x)f(y) \). Alors :

Dans \( ]-\pi; \pi[ \), l'équation suivante : \( (E): 1 + \cos(x) + 2\cos(2x) = 0 \) admet :

Dans \( \mathbb{Z}^2 \), l'équation suivante : \( (E): x^2 - 3y^2 = 8 \) admet :

Le reste de la division de \( 2022^{2023} \) par 7 est :

Le chiffre des unités du nombre \( 4444^{6666} + 6666^{4444} \) est :