Concours ENSAM 2024 Mathématiques

Question 1

On propose à un candidat un QCM de 30 questions. Pour chaque question, il y a 5 réponses possibles dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité \( P \) pour que toutes ses réponses soient justes sachant qu'il va répondre au hasard à ce questionnaire ?

A) \(\frac{1}{30^5}\) B) \(\frac{5!}{(30 - 5)!}\) C) \(\frac{(30 - 5)!}{5!}\) D) \(\frac{1}{5}\) E) \(\frac{1}{5^{30}}\) F) autre réponse

Question 2

Soit \( f(x) = x + \ln x \) une fonction strictement croissante et bijective de \( \mathbb{R}_+^* \) sur \( \mathbb{R} \). On note \( g \) sa fonction réciproque qui est dérivable sur \( \mathbb{R} \). Quelle est la valeur de \( g'(x) \).

A) \( 1 + e^x \) B) \( \frac{g(x) + 1}{g(x)} \) C) \( \frac{g(x)}{g(x) + 1} \) D) \( g(\ln x) \) E) \( \ln(g(x)) \) F) autre réponse

Question 3

On pose \( f(x) = (1 + x)(1 + 2x)...(1 + nx) \). Cocher la valeur de \( f'(0) \).

A) 1 B) \(\frac{n(n+1)}{2}\) C) \(\frac{(n-1)n}{2}\) D) \(n!\) E) \((n+1)!\) F) autre réponse

Question 4

Déterminer la limite de la suite de terme général \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} = \left( \cos \frac{1}{n} \right)^{n^2} \).

A) \(\sqrt{e}\) B) \(\frac{1}{2} \sqrt{e}\) C) \(e^{\frac{3}{2}}\) D) \(+\infty\) E) \(e^{-\frac{1}{2}}\) F) autre réponse

Question 5

Soit \( u \) une racine \( 5^{\text{ème}} \) de l'unité et \( u \neq 1 \), calculer \( 1 + u + u^2 + u^3 \).

A) \(\frac{1}{u}\) B) \(\frac{1}{u - 1}\) C) \(-\frac{1}{u}\) D) \(\frac{1}{u + 1}\) E) \(-\frac{1}{u + 1}\) F) autre réponse

Question 6

Dans le plan complexe, on considère les points \( A \), \( B \) et \( C \) d'affixes respectives \( 1 + 4i \), \( 2 - i \) et \( -3 - 5i \). Déterminer l'affixe \( z_D \) du point \( D \) tel que le quadrilatère \( ABCD \) soit un parallélogramme.

A) \( z_D = 2 + 10i \) B) \( z_D = -2 + 10i \) C) \( z_D = 2 - 10i \) D) \( z_D = -2 - 10i \) E) \( z_D = -1 - 10i \) F) autre réponse

Question 7

Quel est le reste \( r \) de la division de \( 1^{17} + 2^{17} + 3^{17} + \ldots + 15^{17} \) par 17 ?

A) 2 B) 0 C) -2 D) 1 E) -1 F) autre réponse

Question 8

Pour \( n \in \mathbb{N} \), on définit l'entier \( A_n = 1 + 5^n + 5^{2n} + 5^{3n} \). Déterminer la condition nécessaire et suffisante pour laquelle \( A_n \) est un multiple de 13.

A) \( n \) est un multiple de 5 B) \( n \) n'est pas un multiple de 4 C) \( n \) est un multiple de 4 D) \( n \) n'est pas un multiple de 5 E) autre réponse

Question 9

On définit dans \( \mathbb{R}^2 \) la loi notée * par : \[\forall ((x, y); (x', y')) \in (\mathbb{R}^2)^2, \, (x, y) * (x', y') = (x + x', ye^{x'} + y'e^{-x})\] Choisir la bonne réponse :

A) \(( \mathbb{R}^2, *) \) est un groupe, et \( \mathbb{R} \times \{0\} \) est un sous-groupe de \( (\mathbb{R}^2, *) \) B) \( \mathbb{R}^2 \) n'est pas stable pour la loi * C) * est une loi de composition interne commutative dans \( \mathbb{R}^2 \) D) \( \mathbb{R}_+^2 \) n'est pas stable pour la loi * E) autre réponse

Question 10

Soit \( f \) une fonction définie, continue et strictement monotone de \([0,1]\) sur \([0,1]\). Cocher la bonne réponse. Pour tout \( \alpha \in [0;1] \) l'équation \( f(x^2) = \alpha \) admet :

A) deux solutions dans \([0,1]\) B) aucune solution dans \([0,1]\) C) une solution unique dans \([0,1]\) D) au moins deux solutions dans \([0,1]\) E) autre réponse

Question 11

Soit \( f \) une fonction définie sur \( \mathbb{R}^*_+ \) par \( f(t) = \int^1_0 \frac{dx}{t + \sin x} \). Cocher la bonne réponse :

A) \( f \) est décroissante et tend vers 0 en \( +\infty \) B) \( f \) est décroissante et tend vers \( -\infty \) en \( +\infty \) C) \( f \) est croissante et tend vers 0 en \( +\infty \) D) \( f \) est croissante et tend vers \( +\infty \) en \( +\infty \) E) autre réponse

Question 12

Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) \). L'équation \( f'(x) = 0 \) admet sur \(\mathbb{R}\) :

A) trois solutions B) une infinité de solutions C) aucune solution D) une solution E) deux solutions F) autre réponse

Question 13

Déterminer la limite \( \ell = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{20x^2 - 4} - 2}{2x^2 + x - 3} \)

A) \( \ell = \frac{1}{2} \) B) \( \ell = 0 \) C) \( \ell = 1 \) D) \( \ell = \frac{1}{4} \) E) \( \ell = \frac{1}{8} \) F) autre réponse

Question 14

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe \( z = \sin \theta + 2i \sin^2 \frac{\theta}{2} \).

A) \( 2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2} \right) \) B) \( 2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2} \right) \) C) \( 2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right) \) D) \( \sin \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right) \) E) \( 2 \sin \theta \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right) \) F) autre réponse

Question 15

Calculer la valeur de l'intégrale \( I = \int_{-7}^7 \left( x^3 - 5x \right)^{13} \, dx \)

A) \( I = \frac{7}{5} \) B) \( I = \frac{13}{5} \) C) \( I = 0 \) D) \( I = 7 \) E) \( I = 14 \) F) autre réponse

Concours d'accès en 1ère année de l'ENSAM 2024

Épreuve de Mathématiques