Concours Commun de l'ENSAM Maroc 2024

On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension continu E, un interrupteur de courant K, une bobine d'inductance L et de résistance r, deux condensateurs initialement déchargés de même capacité C et deux conducteurs ohmiques de même résistance R (Figure 1).
À l'instant \( t=0 \), on positionne l'interrupteur K en position 0. Le courant \( i_1(t) \) traversant le circuit augmente de zéro à une valeur maximale notée \( I_P = 500\,\text{mA} \) où le régime permanent est atteint.
Un dispositif approprié permet de relever la tension \( u_B \) aux bornes de la bobine en fonction du temps comme le montre la courbe de la Figure 2.

Lorsque le régime permanent du courant dans la bobine est atteint (\( i_1 = I_P \)), on bascule K de la position 0 à la position 1 à un instant considéré comme origine du temps \( t_0 = 0 \). Dans un premier temps, on négligera la résistance r de la bobine.

Dans les questions suivantes, on tiendra compte de la résistance r de la bobine. Un appareil adéquat permet de tracer la courbe de l'énergie totale \( E_t \) du circuit en fonction du temps t, ainsi que la tangente à cette courbe en \( t_0 = 0 \) (Figure 3).

Une bobine d'inductance L et de résistance r est placée en série dans un circuit comprenant un condensateur de capacité \( C = 390\,\mu\text{F} \) et un générateur (GBF) délivrant une tension alternative sinusoïdale : \( u_G = 30\sin(100\pi t) \) (\( u_G \) en V et t en s) (Figure 4). Le circuit est alors traversé par un courant alternatif sinusoïdal d'intensité : \( i(t) = I_m\cos(100\pi t + \varphi) \).
Un oscilloscope numérique connecté au circuit permet de visualiser sur la voie \( Y_A \) la tension \( u_G = u_{AM} \) et sur la voie \( Y_B \) la tension \( u_C = u_{BM} \) (Figure 5). On donne \( \tau = 3,7\,\text{ms} \).

Un palet M de masse m, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne AB inclinée d'un angle \( \alpha \) par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire BC, de rayon R et d'angle \( \widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha \) (Figure 7).
Le palet, initialement lancé depuis A avec la vitesse \( v_A \), glisse sans frottement sur la piste.

Pour les questions suivantes, on suppose que la condition \( v_A > v_{Al} \) est vérifiée.

(Indication : l'intensité de la réaction \( R_n \) doit rester positive pour maintenir le contact entre M et le cercle)

Une bille M assimilée à un point matériel de masse m, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle \( \alpha \) par rapport à l'horizontale (Figure 8).
Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort \( R_1 \) de constante de raideur \( k_1 \) de longueur à vide \( l_0 \). En haut du plan incliné se trouve un autre ressort \( R_2 \) de constante de raideur \( k_2 \) et de même longueur à vide \( O_2A = l_0 \).
On donne la longueur \( O_1O_2 = 4l_0 \). L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par \( O_1 \). Le point M peut être repéré soit par son abscisse z sur l'axe (Oz) soit par son abscisse \( x = O_1M \) sur l'axe \( (O_1O_2) \) orienté de \( O_1 \) vers \( O_2 \). On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements.

On déplace la bille d'une distance \( a \) telle que : \( O_1M = a + l_{eq} \) puis on la lâche sans vitesse initiale. On suppose que la bille reste accrochée au ressort \( R_1 \).

En réalité la bille n'est pas soudée au ressort \( R_1 \). Au cours d'une expérience, on comprime l'ensemble (Bille - Ressort \( R_1 \)) jusqu'à une longueur \( l_2 \) et on libère l'ensemble sans vitesse initiale.
La bille monte alors jusqu'à un point B qu'elle atteint avec une vitesse nulle. Ce point B se situe entre \( O_2 \) et A tel que : \( O_2B = \frac{l_0}{2} \) (le ressort \( R_2 \) est alors comprimé).