Concours Commun d'accès en 1^ère année ENSAM - Session 2025

Épreuve de Mathématiques

Cocher la bonne réponse: une réponse juste = +2 pts, sans réponse = 0 pt, une réponse fausse ou multiple = -1 pt.

Durée : 1 heure 45 minutes.

Partie 1: Questions

Question 1

Lors du concours ENSAM Maroc - Mathématiques 2025, un candidat répond au hasard à l'ensemble des 30 questions d'un QCM (il ne laisse donc aucune question sans réponse).
Le barème est le suivant : +2 points pour une bonne réponse, -1 point pour une mauvaise réponse.
Quelle est la probabilité que ce candidat obtienne exactement 25 points ?

A) \( \frac{30!}{25!5!} \left(\frac{1}{8}\right)^{25} \left(\frac{7}{8}\right)^5 \) B) \( \frac{30!}{25!5!} \left(\frac{1}{5}\right)^{25} \left(\frac{4}{5}\right)^5 \) C) 0 D) 1 E) AR

On définit \( h(x) = \int_0^x f(t) dt \). La courbe suivante représente la fonction \( f \).

Question 2

Parmi les propositions ci-dessous, laquelle est vraie ?

A) \( h(6) < h'(6) < h''(6) \) B) \( h(6) < h''(6) < h'(6) \) C) \( h'(6) < h(6) < h''(6) \) D) \( h''(6) < h(6) < h'(6) \) E) \( h''(6) < h'(6) < h(6) \)

Question 3

Soient \( f, g \) et \( h \) des fonctions définies et dérivables sur \( \mathbb{R} \). Elles satisfont les relations suivantes pour tout \( x \in \mathbb{R} \) :
\( f'(x) = g(x+1) \) et \( g'(x) = h(x-1) \).
Calculer \( f''(2x) \) :

A) \( h(2x+1) \) B) \( 2h'(2x) \) C) \( h(2x) \) D) \( 4h(2x) \) E) AR

Question 4

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite géométrique de raison \( q \). On définit \( v_n = \frac{u_n}{2} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et l'on suppose que \( (v_n) \) est arithmétique de raison \( r \). Déterminer \( q+r \).

A) 0 B) 1 C) \( \sqrt{2} \) D) \( \frac{1}{2} \) E) AR

Question 5

On considère la suite \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) définie par \( a_{n+1} = \frac{1}{a_n} + 1 \), \( a_1=1 \). Sachant que \( a_{100} = \frac{k}{m} \), déterminer la valeur du \( 98^{\text{ème}} \) terme \( a_{98} \).

A) \( \frac{k-m}{2m-k} \) B) \( \frac{k-2m}{k-m} \) C) \( \frac{k-m}{k-2m} \) D) \( \frac{2m-k}{k-m} \) E) AR

Question 6

Soit la fonction \( f(x) = \left(\frac{-1+x \ln x}{1+x \ln x}\right)^2 \) et posons \( f(x) = x g(x) + 1 \). Quelle est la valeur de \( \lim_{x\to 0} g(x) \) ?

A) 4 B) 2 C) -2 D) -4 E) 0

Question 7

On cherche le plus petit entier naturel à trois chiffres \( x \) pour lequel il existe un entier \( y \) satisfaisant l'équation \( 43x + 77y = 27 \). Quelle est la somme des chiffres de cet entier ?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) 11

Question 8

Combien de solutions réelles distinctes possède l'équation : \( (((x^2-1)^2-2)^2-3)^2=4 \) ?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Question 9

On considère l'intégrale suivante : \( \int_0^{\pi/2} (\sin^2 x + 3\cos^2 x) dx \). La valeur de l'intégrale est :

A) \( \frac{\pi}{2} \) B) \( 2\pi \) C) \( \frac{3\pi}{2} \) D) \( \pi \) E) AR

Question 10

La suite \( (u_n)_{n \ge 0} \) est définie par \( u_n = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1+\sqrt{n}}} \). Elle est :

A) Non bornée et monotone B) Bornée et non monotone C) Bornée et décroissante D) Bornée et croissante E) Non bornée et non monotone

Question 11

Pour chaque entier \( n \ge 1 \) on considère les fonctions suivantes \( f_n(x) = x^2 - (n+1)x + b_n \) et \( g_n(x) = x^2 - nx + b_n \).
Sachant que la courbe de \( f_n \) rencontre l'axe des abscisses, tandis que celle de \( g_n \) ne le rencontre pas. Quelle est la valeur de \( \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^2} \) ?

A) \( \frac{1}{4} \) B) \( \frac{1}{5} \) C) \( \frac{2}{5} \) D) \( \frac{1}{10} \) E) AR

Question 12

Soient deux fonctions réelles \( f \) et \( g \) telles que \( f(-x) = -f(x) \) et \( g(-x) = g(x) \) (\( \forall x \in \mathbb{R} \)).
On pose \( h(x) = f(x)g(x) \). Sachant que \( \int_{-3}^3 (x+5)h'(x)dx = 10 \), déterminer la valeur de \( h(3) \).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Question 13

Soit \( z \in \mathbb{C} \) tel que \( \left|\frac{z-i}{z+2i}\right| = 1 \) et \( |z| = \frac{5}{2} \). Quelle est la valeur de \( |z+3i| \) ?

A) \( \sqrt{10} \) B) \( \frac{7}{2} \) C) \( \frac{15}{4} \) D) \( 2\sqrt{3} \) E) AR

Question 14

On pose \( N = 11^{2025} + (2025)^{11} \). Le reste de la division euclidienne de N par 9 est égal à :

A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) AR

Question 15

On pose \( \int_1^2 \frac{x^2}{1+x^4} dx = A \), où \( A>0 \) est laissé indéterminé. En déduire la valeur de \( \int_1^2 \frac{x^{-2}}{1+x^4} dx \) en fonction de A.

A) \( 1-A \) B) \( -A \) C) \( \frac{1}{A} \) D) \( A-1 \) E) \( \frac{1}{2}-A \)

Question 16

On dispose de deux urnes, A et B. L'urne A contient 6 boules bleues, 4 boules vertes et 5 boules rouges. L'urne B contient 4 boules bleues, 3 boules vertes et 6 boules rouges. On effectue l'expérience aléatoire suivante : On tire au hasard une boule de l'urne A et on la place dans l'urne B, puis on tire au hasard (et sans remise) une boule de l'urne B. Déterminer la probabilité que la boule tirée de l'urne B soit de couleur bleue.

A) \( \frac{33}{70} \) B) \( \frac{8}{25} \) C) \( \frac{7}{25} \) D) \( \frac{6}{25} \) E) \( \frac{9}{25} \)

Question 17

Soit \( z(\theta) = \frac{3+2i\sin\theta}{1-2i\sin\theta} \), avec \( \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \pi\right[ \). Déterminer la somme de toutes les valeurs de \( \theta \) pour lesquelles \( z(\theta) \) est purement imaginaire.

A) \( \frac{\pi}{3} \) B) \( \pi \) C) \( \frac{2\pi}{3} \) D) \( \frac{\pi}{2} \) E) 0

Question 18

On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'équation \( x^2 - 4kx + y^2 - 4y + 8 = k^3 - k \), où \( k \in \mathbb{R} \). Pour quelles valeurs de k cette équation représente-t-elle un cercle de rayon strictement positif ?

A) Pour toute valeur réelle de k B) Si, et seulement si, \( -4 < k < -1 \) ou \( k > 1 \) C) Si, et seulement si, \( k > 1 \) D) Si, et seulement si, \( k < -1 \) E) Si, et seulement si, \( k < 0 \) ou \( k > 1 \)

Question 19

Soit \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) définie par \( f(x) = x^2 \sin(x^2) \). On note \( I = f(\mathbb{R}) \) l'image de l'ensemble \( \mathbb{R} \) par la fonction f. Lequel des énoncés suivants est correct ?

A) \( I = [0, +\infty[ \) B) \( I = [-1, 1] \) C) \( I = \mathbb{R} \) D) \( I = [-\pi, \pi] \) E) \( I = \mathbb{R}^+ \)

Question 20

On note \( E(t) \) la partie entière. Pour un réel \( \lambda \in \mathbb{R}\setminus\{0,1\} \) on considère \( L = \lim_{x\to 0} \left| \frac{1-x+|x|}{\lambda-x+E(x)} \right| \). Si cette limite existe et est finie, sa valeur L est :

A) 0 B) 2 C) \( \frac{1}{2} \) D) 1 E) AR

Question 21

Soient \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) tels que l'équation \( z^2 + \alpha z + \beta = 0 \) admette \( 1-2i \) comme solution. Déterminer la valeur de \( \alpha - \beta \) :

A) 7 B) -3 C) 3 D) -7 E) AR

Question 22

Soit la limite suivante : \( \lim_{x\to 2} \frac{2x-5}{x^2+ax+b} = -\infty \). Quelle est la valeur de \( a+b \) ?

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) AR

Question 23

Un plan E est perpendiculaire aux deux plans \( 2x-2y+z=0 \) et \( x-y+2z=4 \) et passe par le point \( P(1,-1,1) \). Si la distance du plan E au point \( Q(a,a,2) \) vaut \( 3\sqrt{2} \) alors \( (PQ)^2 \) est égal à :

A) 9 B) 12 C) 21 D) 33 E) AR

Question 24

Soit \( f:\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^* \) telle que, pour tous \( x, y \in \mathbb{R}_+^* \), \( f(x)f(y) = f(xy) \). Déterminer la valeur de \( f(2025) \). Indication: poser \( x=y=1 \).

A) 1 B) 2025 C) \( \ln 2025 \) D) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) E) \( \frac{1}{\ln 2025} \)

Question 25

On considère le nombre à quatre chiffres 2652, qui possède la propriété suivante : chaque paire de chiffres consécutifs forme un multiple de 13 (en effet: 26, 65, 52). On cherche un nombre N de 2025 chiffres qui satisfait : il commence par le chiffre 9; toute paire de chiffres consécutifs constitue un multiple de 13. Quel est le dernier chiffre de N ?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 9 E) AR

On considère le rectangle ci-contre, partagé en cinq régions: Chaque région doit être coloriée d'une couleur unie choisie parmi rouge, orange, jaune, bleu, vert, de telle sorte que deux régions ayant un côté commun soient de couleurs différentes. On peut utiliser la même couleur pour des régions qui ne se touchent pas par un côté.

Question 26

Combien de colorations distinctes sont possibles ?

A) 120 B) 270 C) 360 D) 540 E) 720

Dans le repère cartésien ci-contre, un carré L (en haut) a un côté posé sur l'axe des ordonnées, tandis qu'un carré R (en bas) a un côté posé sur l'axe des abscisses; les deux carrés partagent un sommet. Un sommet de chacun de ces carrés se trouve sur la droite \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \).

Question 27

Quelle est la longueur du côté du carré L ?

A) \( \frac{44}{15} \) B) \( \frac{15}{16} \) C) \( \frac{16}{17} \) D) \( \frac{17}{13} \) E) \( \frac{15}{19} \)

Question 28

Soit \( m \in \mathbb{R} \) et la fonction \( f:I\to\mathbb{R} \), \( f(x) = \sqrt{x - 2\sqrt{mx-1}} \), définie sur un intervalle I choisi afin que f soit bijective sur I. La fonction réciproque \( f^{-1} \) coupe la droite (d): \( y=12-x \) au point d'ordonnée 10. Quelle est la valeur de \( f(m+4) \) ?

A) \( \frac{1}{2} \) B) \( \frac{1}{4} \) C) 2 D) 1 E) AR

Question 29

La fonction f est strictement décroissante et son domaine de définition est l'ensemble des réels négatifs \( \mathbb{R}^- \). On sait que \( f(m^2-m-5) < f(-3+2m-m^2) \). Combien de valeurs entières m satisfont cette inégalité ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 4

Question 30

On note \( E(x) \) la partie entière. Soient \( k \in \mathbb{N} \) et \( n \in \mathbb{N} \). On considère la fonction \( f(x) = |x - E(-x)| \) si \( E(x) \) est pair, \( |x - E(x)| + k \) si \( E(x) \) est impair. On suppose que f est continue aux points \( x=n \) et \( x=-n \). Quelle affirmation concernant l'entier n est correcte ?

A) n est pair B) n est impair C) n est premier D) f n'est continue pour aucune valeur de n E) n est un multiple de 4

Concours Commun d'accès en 1ère année ENSAM - Session 2025

Épreuve de Mathématiques

Partie 1: Questions

Concours Commun d'accès en 1^ère année ENSAM - Session 2025