Correction de l'épreuve de Mathématiques 2025

Lors du concours ENSAM Maroc - Mathématiques 2025, un candidat répond au hasard à l'ensemble des 30 questions d'un QCM (il ne laisse donc aucune question sans réponse). Quelle est la probabilité que ce candidat obtienne exactement 25 points ?

Parmi les propositions ci-dessous, laquelle est vraie ?

Soient \( f, g \) et \( h \) des fonctions définies et dérivables sur \( \mathbb{R} \). Elles satisfont les relations suivantes pour tout \( x \in \mathbb{R} \) : \( f'(x) = g(x+1) \) et \( g'(x) = h(x-1) \). Calculer \( f''(2x) \) :

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite géométrique de raison \( q \). On définit \( v_n = \frac{u_n}{2} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et l'on suppose que \( (v_n) \) est arithmétique de raison \( r \). Déterminer \( q+r \).

On considère la suite \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) définie par \( a_{n+1} = \frac{1}{a_n} + 1 \), \( a_1=1 \). Sachant que \( a_{100} = \frac{k}{m} \), déterminer la valeur du \( 98^{\text{ème}} \) terme \( a_{98} \).

Soit la fonction \( f(x) = \left(\frac{-1+x \ln x}{1+x \ln x}\right)^2 \) et posons \( f(x) = x g(x) + 1 \). Quelle est la valeur de \( \lim_{x\to 0} g(x) \) ?

On cherche le plus petit entier naturel à trois chiffres \( x \) pour lequel il existe un entier \( y \) satisfaisant l'équation \( 43x + 77y = 27 \). Quelle est la somme des chiffres de cet entier ?

Combien de solutions réelles distinctes possède l'équation : \( (((x^2-1)^2-2)^2-3)^2=4 \) ?

On considère l'intégrale suivante : \( \int_0^{\pi/2} (\sin^2 x + 3\cos^2 x) dx \). La valeur de l'intégrale est :

La suite \( (u_n)_{n \ge 0} \) est définie par \( u_n = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1+\sqrt{n}}} \). Elle est :

Sachant que la courbe de \( f_n \) rencontre l'axe des abscisses, tandis que celle de \( g_n \) ne le rencontre pas. Quelle est la valeur de \( \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^2} \) ?

Soient deux fonctions réelles \( f \) et \( g \) telles que \( f(-x) = -f(x) \) et \( g(-x) = g(x) \). On pose \( h(x) = f(x)g(x) \). Sachant que \( \int_{-3}^3 (x+5)h'(x)dx = 10 \), déterminer la valeur de \( h(3) \).

Soit \( z \in \mathbb{C} \) tel que \( \left|\frac{z-i}{z+2i}\right| = 1 \) et \( |z| = \frac{5}{2} \). Quelle est la valeur de \( |z+3i| \) ?

On pose \( N = 11^{2025} + (2025)^{11} \). Le reste de la division euclidienne de N par 9 est égal à :

On pose \( \int_1^2 \frac{x^2}{1+x^4} dx = A \), où \( A>0 \) est laissé indéterminé. En déduire la valeur de \( \int_1^2 \frac{x^{-2}}{1+x^4} dx \) en fonction de A.

Déterminer la probabilité que la boule tirée de l'urne B soit de couleur bleue.

Soit \( z(\theta) = \frac{3+2i\sin\theta}{1-2i\sin\theta} \). Déterminer la somme de toutes les valeurs de \( \theta \) pour lesquelles \( z(\theta) \) est purement imaginaire.

On considère l'équation \( x^2 - 4kx + y^2 - 4y + 8 = k^3 - k \), où \( k \in \mathbb{R} \). Pour quelles valeurs de k cette équation représente-t-elle un cercle de rayon strictement positif ?

Soit \( f(x) = x^2 \sin(x^2) \). On note \( I = f(\mathbb{R}) \). Lequel des énoncés suivants est correct ?

On note \( E(t) \) la partie entière. Si cette limite existe et est finie, sa valeur L est :

Soient \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) tels que l'équation \( z^2 + \alpha z + \beta = 0 \) admette \( 1-2i \) comme solution. Déterminer la valeur de \( \alpha - \beta \) :

Soit la limite suivante : \( \lim_{x\to 2} \frac{2x-5}{x^2+ax+b} = -\infty \). Quelle est la valeur de \( a+b \) ?

Un plan E est perpendiculaire aux deux plans donnés et passe par P. Si la distance du plan E à Q vaut \( 3\sqrt{2} \) alors \( (PQ)^2 \) est égal à :

Déterminer la valeur de \( f(2025) \).

Quel est le dernier chiffre de N ?

Combien de colorations distinctes sont possibles ?

Quelle est la longueur du côté du carré L ?

Quelle est la valeur de \( f(m+4) \) ?

Combien de valeurs entières m satisfont cette inégalité ?

Quelle affirmation concernant l'entier n est correcte ?