Concours commun ENSAM 2026

Lors d'un concours de l'ENSAM Maroc Mathématiques 2026, un candidat répond au hasard à l'ensemble des 30 questions d'un QCM (il ne laisse donc aucune question sans réponse). Le barème est le suivant : +2 points pour une bonne réponse, -1 point pour une mauvaise réponse. Quelle est la probabilité que ce candidat obtienne exactement 26 points ?

Dans le cadre de l'aménagement d'un espace triangulaire ABC rectangle isocèle en A au sein de l'ENSAM tel que $\mathcal{AB}=4\sqrt{2}cm$ on inscrit un rectangle AIJK dans ce triangle tel que $\mathcal{I}\in[\mathcal{AB}]$, $\mathcal{K}\in[\mathcal{AC}]$, et $J\in[\mathcal{BC}]$. L'aire maximale du rectangle AIJK est :

Soit $N=1^{2026}+2^{2026}+3^{2026}+4^{2026}$. Le nombre N est :

Soient $x$ et $y$ deux réels non nuls, inverses l'un de l'autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à 10. Le carré du nombre $x$ vaut :

Soit $x$ un réel positif. Combien y a-t-il d'entiers naturels non nuls multiples de 3 compris entre 0 et $x$ ?

La valeur maximale des termes $u_k=C_{27}^k 20^k 26^{27-k}$ dans le développement de $(20+26)^{27}$ par la formule du binôme de Newton est atteinte pour $k$ égal à :

Soient $\mathcal{A}(X)=X^5-4X^4+7X^3-3X^2+aX+2$, $\mathcal{B}(X)=X^2-3X+b$ avec $a, b\in\mathbb{R}$ et $\mathcal{A}(X)=\mathcal{B}(X)Q(X)+R(X)$ la division euclidienne de $\mathcal{A}(X)$ par $\mathcal{B}(X)$. Choisir la bonne réponse :

Soit $F_m(X)=\frac{X+1}{(X+m)(X-1)^2}$ où $m$ est un paramètre réel.
Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels tels que : $F_m(X)=\frac{\alpha}{X+m}+\frac{\beta}{X-1}+\frac{\gamma}{(X-1)^2}$. Choisir la bonne réponse :

Une boîte $B_1$ contient 2 jetons numérotés : 1, 3. Une boîte $B_2$ contient 2 jetons numérotés : 2, 2. Une boîte $B_3$ contient 2 jetons numérotés 1, 0. On tire au hasard un jeton $\alpha$ de $B_1$, un jeton $\beta$ de $B_2$ et un jeton $\gamma$ de $B_3$. Quelle est la probabilité que l'équation $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ admette des racines réelles ?

Trois cents étudiants de première année du cycle préparatoire d'une ENSAM sont répartis dans les clubs de l'école comme suit : 60 au club Cyber Sécurité (dont 30% sont des filles), 90 au club Industriel (dont 60% sont des filles) et 150 au club ENSAM-MATH (dont 72% sont des filles). Chaque étudiant est inscrit dans un seul club. Si l'on choisit au hasard un étudiant et qu'on sait qu'il s'agit d'un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit inscrit au club ENSAM-MATH ?

Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. On considère $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ telle que : $\begin{cases}u_0=0,\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\alpha^2 & \forall n\in \mathbb{N}.\end{cases}$
Considérons la suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de terme général $v_n=u_n-2\alpha^2$. La limite de $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ vaut :

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ une suite à termes positifs vérifiant $\begin{cases}u_1=1\\ (u_{n+1})^2=4u_n & \forall n\ge1,\end{cases}$
et $v_n=\ln(\frac{u_n}{4})$, $\forall n\ge1$. La suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ est :

On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ définie par $u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2n}$. La limite de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ est :

Soit $g$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $g(x)=\ln(\frac{x}{x+1})-\frac{\ln(x)}{x+1}+1$ si $x>0$, et $g(0)=a\in\mathbb{R}$. Pour que $g$ soit continue sur $[0,+\infty[$, la valeur de $a$ est :

Soit $f$ une fonction dérivable en 0 telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=2$. La valeur de $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)f(2x)\cdot\cdot\cdot f(nx)}{x^n}$ est :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2$ on a : $f(x+y)(1-f(x)f(y))=f(x)+f(y)$.
Alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$, la valeur de $\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}$ est :

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^x-2\sqrt{e^x-1}$ et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Alors :

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\ln(\frac{4x}{1+2x^2})$ et soit $(\mathcal{C}_g)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathcal{O},\vec{i},\vec{j})$. La courbe $(\mathcal{C}_g)$ admet un point d'inflexion d'abscisse :

L'aire sous la courbe d'équation $y=\frac{1}{1+x^2}$ et au-dessus de la parabole d'équation $y=\frac{x^2}{2}$ est :

Soit $f$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ et soit $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ tel que : $||\vec{i}||=||\vec{j}||=2~cm$. Le volume du solide engendré par la rotation de $\mathcal{C}_f$ autour de l'axe des abscisses est :

Soit la fonction $f(x)=\frac{e^{x^2}-\cos(x)}{2x^2}$. Alors $\lim_{x\rightarrow0}f(x)$ est :

La valeur de $\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ est :

Soit $I=\int_a^{\frac{1}{a}}\frac{\ln(x)}{1+x^2}dx$ avec $a>0$. Choisir la bonne réponse :

Soit $\alpha\in[0,2\pi[$. On considère, dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, l'équation $(E_\alpha)$ d'inconnue $z$ : $(E_\alpha):z^2-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)z+i 2^{2\alpha+1}e^{i2\alpha}=0$. Les solutions $z_1$ et $z_2$ de l'équation $(E_\alpha)$ vérifient :

Soient les nombres complexes suivants : $z=e^{\frac{2\pi}{7}i}$, $a=z+z^2+z^4$, $b=z^3+z^5+z^6$. Sachant que $a+b=-1$ et $\overline{b}=a$, la valeur de la somme $S=\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{4\pi}{7})+\cos(\frac{8\pi}{7})$ est :

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ on considère les points A et B d'affixes respectivement $a=1+i\sqrt{3}$ et $b=-i\overline{a}$. Soit C l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{6}$ et soit c l'affixe du point C. En déterminant la forme trigonométrique du nombre complexe $Z=\frac{b}{a}$ la nature du triangle OBC est :

On considère l'équation différentielle $(\mathcal{E}):y''-2y'+y=(2+6x)e^x$. La fonction $x\mapsto(x^2+x^3)e^x$ est une solution de (E). La solution particulière $y_0$ de (E) telle que sa courbe représentative passe par le point $\mathcal{A}(0,1)$ et ayant une tangente en A parallèle à l'axe des abscisses est :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $\mathcal{A}(-1,1,1)$ et $\mathcal{B}(7,-5,5)$. Soit S la sphère de diamètre [AB]. Le plan tangent à S au point $\mathcal{C}(1,1,-1)$ est :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ avec $||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1~cm$, on considère le point $\mathcal{A}(2,1,-1)$ et la droite (D) d'équation cartésienne : $x-1=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}$. La distance du point A à la droite (D) est égale à :

Soit $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ l'espace des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\ -1&-1&0\\ -1&1&-2\end{pmatrix}$. Alors :