Concours commun ENSAM 2026

On se propose via ce problème d'étudier le mouvement du système mécanique représenté ci-contre (Fig. 1) constitué de :
- Une poulie (P) à 2 gorges, de rayons $r_1$ et $r_2 (>r_1)$ et de moment d'inertie $J_{\Delta}$ par rapport à son axe horizontal ($\Delta$) passant par son centre.
- Deux corps sphériques $(S_1, S_2)$ de masses $(m_1, m_2)$ attachés à la poulie par des fils (1, 2) inextensibles et sans masses.
- Un fil de torsion de constante C attaché à la poulie.
On note $(x_1, x_2, \theta)$ les déplacements de $(S_1, S_2, P)$ respectivement par rapport à leurs positions d'équilibres. On suppose que la position d'équilibre de la poulie correspond à $\theta_e = 0$ et que les frottements sont négligeables. On écarte le corps $S_1$ de sa position d'équilibre vers le bas d'une distance qui vaut $r_1$ et on le lâche sans vitesse. L'instant initial $(t=0s)$ correspond au passage de $S_1$ par sa position d'équilibre pour la première fois.
On donne : $g = 10~m.s^{-2}$.

À un instant pris comme nouvelle origine du temps, le corps $(S_2)$ se détache du fil (2) sans vitesse et traverse en chute libre une distance $H(=20~cm)$ dans l'air avant d'arriver à un fluide où il subit une force de frottement visqueux, $f=\beta~v^{2/3}$. On néglige l'effet de la poussée d'Archimède.

Une bille métallique de masse (m) est assujettie à se déplacer sur un contour constitué d'une partie horizontale $(AB=L)$ et d'une partie sous forme d'un quart (1/4) de cercle (BD) de rayon $(R=L/2)$ et de centre C (Fig. 2). On suppose que le mouvement sur la partie circulaire s'effectue sans frottement tandis qu'il s'effectue avec frottement (Force de frottement f) sur la partie horizontale. La bille est lancée au point A avec une vitesse $v_A$.

On considère le montage ci-contre (Fig. 3) constitué de :
- Un générateur de tension continue idéal ($E=10~V$),
- Un interrupteur K.
- 4 résistances ($R=100~\Omega, r_0$)
- Bobine (L, r) à caractériser.
- 2 condensateurs déchargés de capacités $C_1$ et $C_2$ à déterminer.
On donne $\pi^2 \cong 10$.

1ère Partie : K sur la position (1)
À l'instant $t=0s$, le commutateur est mis sur la position (1). L'équation différentielle (ED) vérifiée par la tension $U_C(t)$ est donnée par : $\frac{dU_C(t)}{dt} + \frac{U_C(t)}{\tau} = \alpha$

La tension aux bornes des condensateurs est donnée par : $U_c(t)=E[1-\exp(-\frac{t}{\tau})]$. Le courant électrique, $i_1(t)$, circulant dans le condensateur (1) est donné en fonction de la tension $U_c(t)$ par l'expression suivante : $i_1(t)=a - b U_c(t)$.

2ème Partie : K sur la position (2)
À un instant $(t \gg \tau)$ pris comme nouvelle origine du temps, le commutateur est basculé vers la position (2). L'équation différentielle vérifiée par la tension $U_c(t)$ s'écrit comme suivant :
$a_0\frac{d^2U_c(t)}{dt^2}+a_1\frac{dU_c(t)}{dt}+(1+\frac{r}{r_0})U_c(t)=0$.

3ème Partie : Régime forcé
Le circuit représenté sur la figure 4, constitué par les éléments précédemment utilisés en plus d'une boîte à caractériser comportant un condensateur de capacité $C_0$ et une résistance $R_0$ montés en série, est alimenté par un générateur à basse fréquence idéal GBF de fréquence ajustable (N). Les courbes correspondantes aux tensions $U_R(t)$ et $U(t)$, visualisées via un oscilloscope numérique, sont représentées sur la Fig. 5.

En général, le sodium radioactif $^{24}_{11}Na$, utilisé comme traceur dans certaines installations industrielles afin de mesurer le débit d'un fluide ou de détecter des fuites dans des conduites, est un noyau radioactif de type $\beta^-$ qui se transforme en Magnésium dans un état excité $^{24}_{12}Mg^*$ en émettant un électron $(^{0}_{-1}e)$ et un antineutrino électronique, $\overline{\nu}_e$ selon la réaction nucléaire suivante :
$^{24}_{11}Na \rightarrow ^{24}_{12}Mg^* + ^{0}_{-1}e + \overline{\nu}_e$

Données :
• Masses : $m_p=1.00728~u$, $m_n=1.00866~u$, $m_e=5.49\times10^{-4}u$
$m(^{24}_{11}Na)=23.98180u$, $m(^{24}_{12}Mg^*)=23.97704u$
$1~u=931.5~MeV/c^2$
• Nombre d'Avogadro : $N_A=6.02\times10^{23}mol^{-1}$
• Célérité de la lumière : $c=3.10^8m.s^{-1}$
• Constante de Planck : $h=6.62\times10^{-34}J.s$
$1~eV \cong 1.6\times10^{-19}J$, $\ln(2)=0.693$
La figure 6 représente $\ln(A)$ en fonction de $t(h)$.

En pratique, le noyau fils $Mg^*$ se désexcite en émettant deux photons $\gamma_1$ et $\gamma_2$ qui ont des énergies d'environ 1.37 MeV et 2.75 MeV, ce qui le rend particulièrement utile comme traceur radioactif dans les applications industrielles. À titre d'exemples, le sodium 24 est injecté dans une conduite de rayon 8 cm sur laquelle sont montés deux détecteurs nucléaires $D_1$ et $D_2$ placés à 400 m l'un de l'autre. Ces derniers signalent respectivement un maximum d'activité aux instants $t_1=10h~32mn$ et $t_2=10h~36mn$.