Question 1 :
On considère la suite numérique $(u_n)_n$ définie par : $ u_0 = 1$ et $ u_{n+1} = u_n (1 + u_n)$ pour tout $ n$ de $\mathbb{N}$
- A) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $ u_n < 1$
- B) $(u_n)_n$ est décroissante
- C) $ u_{n+1} \geq 2u_n, (\forall n \in \mathbb{N})$
- D) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $ u_n^2 < u_n$
Question 2 :
Pour la suite $(u_n)_n$ définie précédemment :
- A) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $ u_n < 2^n$
- B) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $ u_n \geq 2^n$
- C) $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$
- D) $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$
Question 3 :
Soient les nombres complexes : $ a = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)i$ et $ u = \frac{a}{2 + 2i}$
- A) $\arg(a^2) = \frac{5\pi}{6}[2\pi]$
- B) $|a^2| = 4$
- C) $\arg(a) = \frac{5\pi}{3}[2\pi]$
- D) $|a| = 2$
Question 4 :
Pour le nombre complexe $ u$ défini précédemment :
- A) $ u^2 = e^{\frac{i5\pi}{6}}$
- B) $\arg(u) = -\frac{5\pi}{6}[2\pi]$
- C) $ u = e^{\frac{i\pi}{6}}$
- D) $|u| = 4$
Question 5 :
Soient $ z$ et $ z'$ deux nombres complexes tels que $ z = \sqrt{3} - i$ et $ z' = (1 + i)z$
- A) $ z' = (\sqrt{3} - 1) + i(\sqrt{3} + 1)$
- B) $ z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$
- C) $ z' = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)$
- D) $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
Question 6 :
On lance 6 fois de suite une même pièce de monnaie. On considère l'événement A : « Obtenir exactement trois fois face »
- A) $\frac{5}{8}$
- B) $\frac{1}{2}$
- C) $\frac{1}{32}$
- D) $\frac{5}{16}$
Question 7 :
Une boite contient 10 boules : 4 blanches, 3 rouges et 3 vertes (Toutes les boules sont indiscernables au toucher). Le tirage d'une boule blanche rapporte 5 points, celui d'une boule rouge 2 points tandis que celui d'une boule verte coûte 1 point (On perd un point). On tire simultanément au hasard 2 boules et on note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points obtenus.
- A) $ p(X = 7) = \frac{1}{15}$
- B) $ p(X = 4) = \frac{1}{15}$
- C) $ p(X < 0) = \frac{1}{15}$
- D) $ p(X \geq 1) = \frac{4}{15}$
Question 8 :
Soit $ f$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$, définie sur $]0; +\infty[$ par :
$ f(x) = X + 1 + \frac{ln x}{x^2}$
et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Soit $(D)$ la droite d’équation :
$ y = x + 1.$
- A) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
- B) $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$
- C) $ f'(x) = \frac{x^3 + 1 + 2\ln x}{x^3}$
- D) La droite $(\Delta)$ d'équation $ y = x + 1$ est une asymptote de $(C_f)$ en $+\infty$
Question 9 :
Soit $ g$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ définie sur $]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$ par $ g(x) = x + \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
- A) $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$
- B) $\lim_{x \to 1} g(x) = +\infty$
- C) $ g$ est paire
- D) L'équation $ g'(x) = 0$ admet une seule solution
Question 10 :
Cocher la bonne réponse :
- A) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = 1$
- B) $\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$
- C) $\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2}} = +\infty$
- D) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = 1$
Question 11 :
Soit $ f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $ f(x) = (x+1)e^{-2x}$
- A) Pour tout $ x$ de $\mathbb{R}$, $ f'(x) = (x+2)e^{-2x}$
- B) $ f$ est décroissante sur $]-\infty, \frac{1}{2}[$
- C) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
- D) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
Question 12 :
Cocher la bonne réponse :
- A) $\int_1^2 \frac{1}{t^2} dt = \ln 4$
- B) $\int_0^1 \frac{1}{t+1} dt = \frac{1}{2}$
- C) $\int_0^\pi \cos t dt = -2$
- D) $\int_0^\pi t \sin t dt = -2$
Question 13 :
Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $ n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$ par : $ u_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$
On pose pour tout $ n \in \mathbb{N}^*$ :
$ v_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$
- A) $\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n > 0$
- B) $ u_{n+1} - u_n = \ln\left(\frac{(n+2)}{(n+1)^2}\right)$
- C) $\forall n \in \mathbb{N}^*, v_n = \ln(n+2)$
- D) $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
Question 14 :
Soit $(u_n)_n$ la suite numérique définie par : $ u_n > 0$ et $ u_{n+1} = u_n e^{-u_n}$ pour tout $ n$ de $\mathbb{N}$
- A) $(u_n)_n$ est une suite géométrique
- B) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n < 0$
- C) $(u_n)_n$ est une suite croissante
- D) $(\forall n \in \mathbb{N}) \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$
