Question 1 :
Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites numériques définies par : $ u_0 = 1, u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n+2}$ et $ v_n = \frac{u_n}{u_n+1}$
- A) $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique
- B) $(\forall n \in \mathbb{N}), v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $
- C) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n = \frac{1}{2^{n+1}-1}$
- D) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$
Question 2 :
Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite numérique de terme général $ u_n = \int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}} dx$
- A) $ u_0 + u_1 = 1$
- B) $ u_1 = 1 - \ln(1+e)$
- C) $ u_0 = \ln(1+e) - \ln2$
- D) $ (\forall n \in \mathbb{N}^*), u_{n+1} + u_n = \frac{1-e^{-n}}{n}$
Question 3 :
Soient $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $ (v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites définies par : $ u_0 = 3, u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 4}{2u_n}$ et $ v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 2}$
- A) $ (\forall n \in \mathbb{N}), u_n \leq 2$
- B) $ (\forall n \in \mathbb{N}), u_n > 2$
- C) $ (\forall n \in \mathbb{N}), v_{n+1} = v_n^2$
- D) $ (\forall n \in \mathbb{N}), v_n = v_0^{2n}$
Question 4 :
Pour tout $ z \in \mathbb{C}$ on pose $ p(z) = z^3 + 3z^2 + 6z + 4$ et soient $ A, B$ et $ C$ les points d'affixes $ z_A = -1 + i\sqrt{3}, z_B = -1 - i\sqrt{3}$ et $ z_C = 2$ respectivement.
- A) Le nombre $ -2i$ est solution de l'équation $ p(z)=0$
- B) $ (\forall z \in \mathbb{C}), p(z) = (z + 1)(z^2 - 2z + 4)$
- C) $ z_A$ et $ z_B$ sont solutions de l'équation : $ z^2 + 2z + 4 = 0$
- D) Le triangle $ ABC$ est équilatéral
Question 5 :
On pose $ z = \sqrt{2 + \sqrt{3}} - i\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ . La forme exponentielle de $ z^2$ est :
- A) $ 4e^{i\frac{\pi}{6}}$
- B) $ 4e^{i\frac{-\pi}{6}}$
- C) $ 4e^{i\frac{5\pi}{6}}$
- D) $ 4e^{i\frac{-5\pi}{6}}$
Question 6 :
Pour le même nombre complexe $ z$ , la forme exponentielle de $ z$ est :
- A) $ 4e^{i\frac{\pi}{6}}$
- B) $ 4e^{i\frac{-5\pi}{12}}$
- C) $ 4e^{i\frac{5\pi}{12}}$
- D) $ 2e^{i\frac{-\pi}{12}}$
Question 7 :
L'angle dont les nombres $ \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ et $ \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ sont respectivement le cosinus et le sinus est :
- A) $ -\frac{\pi}{12}$
- B) $ \frac{\pi}{12}$
- C) $ -\frac{5\pi}{12}$
- D) $ \frac{5\pi}{12}$
Question 8 :
Soit $ f$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ définie sur $ \mathbb{R}$ par : $ f(x) = x - \frac{4e^x}{1+e^x}$ . La courbe représentative de $ f$ admet au voisinage de $ +\infty$ une asymptote oblique d'équation :
- A) $ y = x - 4$
- B) $ y = x$
- C) $ y = x - 1$
- D) $ y = x + 4$
Question 9 :
Soit $ \omega$ un réel strictement positif et $ z$ un nombre complexe tel que $ z = \frac{1+i\omega}{1-i\omega}$
- A) La partie réelle de $ z$ est égale à 1
- B) Le module de $ z$ est égal à 1
- C) |$ \frac{(1+i\omega)^2}{1-i\omega}| = \sqrt{1+\omega^2}$
- D) |$ \frac{1+i\omega}{(1-i\omega)^2}| = |\frac{(1+i\omega)^2}{1-i\omega}$ |
Question 10 :
Soit, dans l'ensemble $ \mathbb{C}$ les nombres complexes : $ z_1 = 1 - i\sqrt{3}$ et $ z_2 = -2 + 2i$
- A) $ z_1 = 2e^{\frac{i\pi}{3}}$
- B) $ z_1 = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$
- C) $ z_2 = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$
- D) $ z_2 = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$
Question 11 :
Soit $ f$ la fonction de la variable réelle $ x$ définie sur $ \mathbb{R}$ par : $ f(x) = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$
- A) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
- B) $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$
- C) $ \int_0^1 f(x) dx = \ln(2) - \ln(1 + e^{-1})$
- D) $ (\forall x \in \mathbb{R}), f(-x) = f(x)$
Question 12 :
Soit $ F$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ définie par $ F(x) = \ln(x^2 + 1) + x$
- A) $ (\forall x \in \mathbb{R}), F'(x) = \frac{1}{x^2+1} + 1$
- B) $ F$ est croissante sur $ \mathbb{R}$
- C) $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = +\infty$
- D) $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = +\infty$
Question 13 :
Soit $ g$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ définie sur $ ]0; +\infty[$ par : $ g(x) = x - \frac{\ln x}{x^2}$
- A) $ \lim_{x \to 0} g(x) = -\infty$
- B) $ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$
- C) $ g'(x) = \frac{x^3 - 1 + 2\ln x}{x^3}$
- D) $ \int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e}$
Question 14 :
Soit $ f_n$ la fonction définie sur $ \mathbb{R}$ par : $ f_n(x) = \sin^{n+1}(2x)$ ; $ n \in \mathbb{N}$
- A) $ (\forall n \in \mathbb{N})$ ; $ f_n(x + \frac{\pi}{2}) = -f_n(x)$
- B) $ (\forall n \in \mathbb{N})$ $ (\forall x \in [0, \pi])$ ; $ f_n(x) \geq 0$
- C) $ (\forall n \in \mathbb{N})$ ; $ f_n(\frac{\pi}{2} - x) = (-1)^{n+1}f_n(\frac{\pi}{2} + x)$
- D) $ f'_n(x) = 2(n+1)\sin^n(2x)$
Question 15 :
Soit $ g$ la fonction de la variable réelle $ x$ définie par : $ g(x) = \ln(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1})$ et $ D$ son domaine de définition. On a :
- A) $ D = ]-\infty, 0]$
- B) $ g'(x) = \frac{-2e^x}{1-e^{2x}}$
- C) $ (\forall x \in D)$ on a : $ g'(x) > 0$
- D) $\ln(\frac{e-1}{1+e}) = -1$
