Question 36 :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique définie par: $ u_0 = 1$ et $ u_{n+1} = \frac{2u_n}{\sqrt{1 + u_n^2}}$ . On pose $ v_n = \frac{u_n^2}{3 - u_n^2}$ . Alors $ (v_n)$ est une suite géométrique de raison:
- A) $\frac{1}{4}$
- B) $\frac{1}{2}$
- C) 2
- D) 4
Question 37 :
$ \lim_{n \to +\infty} u_n =$
- A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B) $\sqrt{3}$
- C) 2
- D) $+\infty$
Question 38 :
On considère la suite numérique $ (w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par: $ w_0 = \frac{1}{2}$ et $ w_{n+1} = \frac{w_n}{3 - 2w_n}$ . Alors $ \forall n \in \mathbb{N}$
- A) $\frac{1}{2} \leq w_n < (\frac{3}{2})^{n+1}$
- B) $0 < w_n < (\frac{3}{2})^n$
- C) $0 < w_n < (\frac{1}{2})^n$
- D) $(\frac{1}{4})^n < w_n < (\frac{1}{2})^n$
Question 39 :
On considère l'intégrale $ I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} d\theta$ . Alors $ I =$
- A) $\frac{\ln(3)}{2}$
- B) $1 - \frac{\pi}{4}$
- C) $\frac{\ln(2)}{2}$
- D) $\frac{\pi}{4}$
Question 40 :
On considère l'équation suivante: $ z^2 - 6z + 13 = 0$ de racines $ z_1$ et $ z_2$ . $ z_1$ et $ z_2$ sont:
- A) $2 + 3i$ et $3 - 2i$
- B) $2 - 3i$ et $2 + 3i$
- C) $2 - 3i$ et $3 + 2i$
- D) $3 + 2i$ et $3 - 2i$
Question 41 :
Dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j})$ , on considère les points A et B d'affaires respectives $ z_1$ et $ z_2$ . Le triangle OAB est un triangle:
- A) équilateral
- B) isocèle
- C) rectangle
- D) rectangle isocèle
Question 42 :
$ z_1$ et $ z_2$ vérifient:
- A) $ z_1 + z_2 = 3$
- B) $ z_1 = z̄_2$
- C) $ z_1 \times z_2 = 16$
- D) $\frac{z_1}{z_2} = i$
Question 43 :
On considère la fonction $ f$ définie par $ f(x) = \sqrt{e^{2x} - 2e^x - 3}$ . $ D_f =$
- A) $\mathbb{R}^{-}$
- B) $\mathbb{R} \setminus \{\ln(3)\}$
- C) $[\ln(3), +\infty[$
- D) $]-\infty, \ln(3)]$
Question 44 :
La fonction $ f$ est dérivable sur:
- A) $\mathbb{R}^{*}$
- B) $]-\infty, \ln(3)[$
- C) $]\ln(3), +\infty[$
- D) $\mathbb{R}^{*} \setminus \{\ln(3)\}$
Question 45 :
$ f$ vérifie l'équation différentielle:
- A) $ f(x)(f'(x) - f(x)) = e^x$
- B) $ f(x)(f'(x) + f(x)) = e^x - 3$
- C) $ f(x)(f'(x) + f(x)) = 3$
- D) $ f(x)(f'(x) - f(x)) = e^x + 3$
Question 46 :
Quel est le coefficient de $ \frac{1}{x^2}$ dans le développement de $ (x + \frac{1}{x})^n$ quand le coefficient du troisième terme est le même que celui du septième terme dans la formule du binôme de Newton?
Question 47 :
Soient $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite arithmétique et $ S_n$ la somme des $ n$ premiers termes de $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ . On pose $ a_2 = 5$ et $ S_3 = 15$ . $ \frac{1}{k(k+n)} =$
- A) $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$
- B) $\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k}$
- C) $\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}$
- D) $\frac{k+1}{k} - \frac{k}{k+1}$
Question 48 :
La somme des 100 premiers termes de la suite $ \left( \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right)n$ est égale à
- A) $\frac{99}{101}$
- B) $\frac{100}{101}$
- C) $\frac{99}{100}$
- D) $\frac{101}{100}$
Question 49 :
Dans une ville, il y a quatre boulangeries qui ferment un jour par semaine. Quel est le nombre de façons d'attribuer un jour de fermeture hebdomadaire?
- A) $ C_7^4$
- B) $ A_7^4$
- C) $ 4^7$
- D) $ 7^4$
Question 50 :
Quelle est La valeur de la limite suivante: $\lim_{t \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{t^{2023}} \right)^{t^{2024}} ?$
- A) 1
- B) $ e$
- C) $\frac{1}{e}$
- D) +∞
