Concours ENSCK 2024 - Mathématiques

Mathématiques

Question 41

Soit $f(x) = x^4 - 4$.

A) le point (0, -4) est un maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$B) (0, -4) est un point d'inflexion de $f$ sur $\mathbb{R}$C) $C_f$ possède une tangente verticale en (0, -4)D) le point (0, -4) est un minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$

Question 42

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$ par $f(x) = x - 2\sin x$.

A) $f$ ne s'annule pas sur $\left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$B) $\exists c \in \left] \frac{\pi}{3}, \pi \right[ \quad f'(c) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{3}{\pi}$C) $f$ est strictement décroissante sur $\left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$D) $f$ est concave

Question 43

On considère la fonction $f$ donnée par $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x + 1}{3x^2 + 6}, & \text{si } x \geq 1 \\ \frac{1}{x^2 - x} \sin \frac{\pi}{2}x, & \text{si } x < 1 \end{cases}$

A) $f$ est continue en 1B) $f$ possède un prolongement par continuité en 0C) $f$ possède une limite finie en 1D) $f$ possède une limite finie en 0

Question 44

Soit $P$ une fonction polynomiale de degré $n$ impair. L'équation $P(x) = 0$ possède

A) $n$ solutions réellesB) pas de solutions réellesC) au moins une solution réelleD) au moins $n$ solutions réelles

Question 45

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $\forall n \in \mathbb{N} \quad \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_0 = b \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \end{cases}$

A) $(u_n)$ est décroissante et $(v_n)$ est croissanteB) $\forall n \in \mathbb{N} \quad u_n > v_n$C) $\forall n \in \mathbb{N} \quad v_{n+1} - u_{n+1} > \frac{1}{2} (v_n - u_n)$D) la suite $(u_n, v_n)_{n\geq0}$ est constante

Question 46

$\int_0^{\pi/2} x \sin x \cos x \, dx =$

A) $\frac{\pi}{8}$B) $\frac{\pi}{4}$C) $\frac{1}{2}$D) $\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$

Question 47

Soit $f(x) = \sin^3 x \cos x$. La linéarisation de $f$ est donnée par

A) $\frac{-\sin 4x}{8} + \frac{1}{4} \sin 2x$B) $\frac{-\cos 4x}{8} + \frac{1}{4} \sin 2x$C) $\frac{\cos 4x}{8} + \frac{1}{4} \cos 2x$D) $\frac{-\sin 4x}{8} + \frac{1}{4} \cos 2x$

Question 48

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$.

A) $f([0, \frac{1}{2}]) \subset [\frac{1}{2}, 1]$B) $\exists c \in ]0,1[ \quad f(c) = c$C) $\exists c \in ]0,1[ \quad f'(c) = 0$D) $\exists c \in ]0,1[ \quad f(c) = \frac{1+c}{1-c}$

Question 49

Soient $S$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y - 4z = 0$ et $P$ le plan d'équation $4x - 3y + 10 = 0$.

A) $P$ coupe $S$ selon un disqueB) $P \cap S = \emptyset$C) $P$ est tangent à $S$D) Le centre de $S$ appartient à $P$

Question 50

Soit le nombre complexe $z = i$

A) $z^{\frac{1}{2}} = -\sin(\frac{\pi}{4}) + i \cos(\frac{\pi}{4})$B) $z^4 = -1$C) $z^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$D) $Im(z^{-i}) = e^{\frac{\pi}{2}}$

Question 51

Soit le nombre complexe $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

A) la forme algébrique de $\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$B) $|z| = 4$C) $Im(z^3) = -4\sqrt{3}$D) $Re(z^2) = 2\sqrt{3}$

Question 52

Soient les nombres complexes $a = 1 + i, b = 1 - i\sqrt{3}$ et $z = \frac{a}{b}$, $\arg(z) \equiv$

A) $\frac{7\pi}{12} [2\pi]$B) $\frac{5\pi}{6} [2\pi]$C) $\frac{6\pi}{5} [2\pi]$D) $\frac{12\pi}{7} [2\pi]$

Question 53

Un dé équilibré à six faces est lancé quatre fois. La probabilité d'obtenir deux fois la face six

A) $\frac{16}{216}$B) $\frac{25}{216}$C) $\frac{2}{76}$D) $\frac{16}{76}$

Question 54

Dans une clinique, 5% des patients sont atteints d'une maladie rare. Un test de dépistage pour cette maladie a une sensibilité (probabilité de détecter correctement la maladie) de 98% et une spécificité (probabilité de détecter correctement l'absence de la maladie) de 97%. La probabilité qu'un patient soit malade et obtienne un test négatif

A) 0.001B) 0.002C) 0.01D) 0.02

Question 55

La probabilité qu'un patient ne soit pas malade et obtienne un test positif

A) 0.0145B) 0.015C) 0.019D) 0.0285

Question 56

Les solutions, dans $\mathbb{C}$, de l'équation $z^4 + z^2 = 6$

A) $\pm i\sqrt{2}$ et $\pm \sqrt{3}$B) $\pm i\sqrt{2}$ et $\pm i\sqrt{3}$C) $\pm i\sqrt{3}$ et $\pm \sqrt{2}$D) $\pm \sqrt{2}$ et $\pm \sqrt{3}$

Question 57

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n + \cos n}{1 + \frac{1}{u_n}} =$ avec $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

A) $+\infty$B) 2C) n'a pas de limiteD) 0

Question 58

$\lim_{n \to +\infty} u_n \left(xe^x - \frac{x}{e^{-x}}\right) =$

A) $+\infty$B) 1C) n'a pas de limiteD) 0

Question 59

$\forall n \in \mathbb{N} \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\Pi_{k=1}^n (1 - \sin^k x)}{\cos^{2n}x} =$

A) $\frac{1}{2^n}$B) 0C) n'a pas de limiteD) $\frac{n!}{2^n}$

Question 60

On muni le plan complexe d'un repère orthonormé $(0, \vec{u}, \vec{v})$. Soient $A, B, C$ les points d'affixes respectives $z_A, z_B, z_C$ avec $z_A = 1 - i$, $B$ le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, la partie réelle de $z_C$ est positive et le triangle (ABC) est un triangle rectangle isocèle en $A$.

A) $|AB| = 3\sqrt{2}$B) $z_B = -1 - i$C) $\arg(z_C) \equiv \pi[2\pi]$D) $z_C = 3+i$

Concours d'accès en 1ère année de ENSCK - 2024

Épreuve : Mathématiques

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