Question 41 :
Soit $ f(x) = x^4 - 4$ .
- A) le point (0, -4) est un maximum de $ f$ sur $ \mathbb{R}$
- B) (0, -4) est un point d'inflexion de $ f$ sur $ \mathbb{R}$
- C) $ C_f$ possède une tangente verticale en (0, -4)
- D) le point (0, -4) est un minimum de $ f$ sur $ \mathbb{R}$
Question 42 :
Soit $ f$ la fonction définie sur $ \left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$ par $ f(x) = x - 2\sin x$ .
- A) $ f$ ne s'annule pas sur $ \left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$
- B) $ \exists c \in \left] \frac{\pi}{3}, \pi \right[ \quad f'(c) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{3}{\pi}$
- C) $ f$ est strictement décroissante sur $ \left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$
- D) $ f$ est concave
Question 43 :
On considère la fonction $ f$ donnée par $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x + 1}{3x^2 + 6}, & \text{si } x \geq 1 \\ \frac{1}{x^2 - x} \sin \frac{\pi}{2}x, & \text{si } x < 1 \end{cases}$
- A) $ f$ est continue en 1
- B) $ f$ possède un prolongement par continuité en 0
- C) $ f$ possède une limite finie en 1
- D) $ f$ possède une limite finie en 0
Question 44 :
Soit $ P$ une fonction polynomiale de degré $ n$ impair. L'équation $ P(x) = 0$ possède
- A) $ n$ solutions réelles
- B) pas de solutions réelles
- C) au moins une solution réelle
- D) au moins $ n$ solutions réelles
Question 45 :
Soit $ a$ et $ b$ deux réels tels que $ 0 < a < b$ . On considère les suites $ (u_n)$ et $ (v_n)$ définies par $ \forall n \in \mathbb{N} \quad \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_0 = b \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \end{cases}$
- A) $ (u_n)$ est décroissante et $ (v_n)$ est croissante
- B) $ \forall n \in \mathbb{N} \quad u_n > v_n$
- C) $ \forall n \in \mathbb{N} \quad v_{n+1} - u_{n+1} > \frac{1}{2} (v_n - u_n)$
- D) la suite $ (u_n, v_n)_{n≥0}$ est constante
Question 46 :
$ \int_0^{\pi/2} x \sin x \cos x \, dx =$
- A) $ \frac{\pi}{8}$
- B) $ \frac{\pi}{4}$
- C) $ \frac{1}{2}$
- D) $ \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$
Question 47 :
Soit $ f(x) = \sin^3 x \cos x$ . La linéarisation de $ f$ est donnée par
- A) $ \frac{-\sin 4x}{8} + \frac{1}{4} \sin 2x$
- B) $ \frac{-\cos 4x}{8} + \frac{1}{4} \sin 2x$
- C) $ \frac{\cos 4x}{8} + \frac{1}{4} \cos 2x$
- D) $ \frac{-\sin 4x}{8} + \frac{1}{4} \cos 2x$
Question 48 :
Soit $ f$ une fonction continue sur $ [0,1]$ telle que $ f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$ .
- A) $ f([0, \frac{1}{2}]) \subset [\frac{1}{2}, 1]$
- B) $ \exists c \in ]0,1[ \quad f(c) = c$
- C) $ \exists c \in ]0,1[ \quad f'(c) = 0$
- D) $ \exists c \in ]0,1[ \quad f(c) = \frac{1+c}{1-c}$
Question 49 :
Soient $ S$ la sphère d'équation $ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y - 4z = 0$ et $ P$ le plan d'équation $ 4x - 3y + 10 = 0$ .
- A) $ P$ coupe $ S$ selon un disque
- B) $ P \cap S = \emptyset$
- C) $ P$ est tangent à $ S$
- D) Le centre de $ S$ appartient à $ P$
Question 50 :
Soit le nombre complexe $ z = i$
- A) $ z^{\frac{1}{2}} = -\sin(\frac{\pi}{4}) + i \cos(\frac{\pi}{4})$
- B) $ z^4 = -1$
- C) $ z^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$
- D) $ Im(z^{-i}) = e^{\frac{\pi}{2}}$
Question 51 :
Soit le nombre complexe $ z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$
- A) la forme algébrique de $ \frac{1}{z} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$
- B) $ |z| = 4$
- C) $ Im(z^3) = -4\sqrt{3}$
- D) $ Re(z^2) = 2\sqrt{3}$
Question 52 :
Soient les nombres complexes $ a = 1 + i, b = 1 - i\sqrt{3}$ et $ z = \frac{a}{b}$ , $ \arg(z) \equiv$
- A) $ \frac{7\pi}{12} [2\pi]$
- B) $ \frac{5\pi}{6} [2\pi]$
- C) $ \frac{6\pi}{5} [2\pi]$
- D) $ \frac{12\pi}{7} [2\pi]$
Question 53 :
Un dé équilibré à six faces est lancé quatre fois. La probabilité d'obtenir deux fois la face six
- A) $ \frac{16}{216}$
- B) $ \frac{25}{216}$
- C) $ \frac{2}{76}$
- D) $ \frac{16}{76}$
Question 54 :
Dans une clinique, 5% des patients sont atteints d'une maladie rare. Un test de dépistage pour cette maladie a une sensibilité (probabilité de détecter correctement la maladie) de 98% et une spécificité (probabilité de détecter correctement l'absence de la maladie) de 97%. La probabilité qu'un patient soit malade et obtienne un test négatif
- A) 0.001
- B) 0.002
- C) 0.01
- D) 0.02
Question 55 :
La probabilité qu'un patient ne soit pas malade et obtienne un test positif
- A) 0.0145
- B) 0.015
- C) 0.019
- D) 0.0285
Question 56 :
Les solutions, dans $ \mathbb{C}$ , de l'équation $ z^4 + z^2 = 6$
- A) $ \pm i\sqrt{2}$ et $ \pm \sqrt{3}$
- B) $ \pm i\sqrt{2}$ et $ \pm i\sqrt{3}$
- C) $ \pm i\sqrt{3}$ et $ \pm \sqrt{2}$
- D) $ \pm \sqrt{2}$ et $ \pm \sqrt{3}$
Question 57 :
Soit $ (u_n)$ une suite telle que $ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ . $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n + \cos n}{1 + \frac{1}{u_n}} =$
- A) $ +\infty$
- B) 2
- C) n'a pas de limite
- D) 0
Question 58 :
$ \lim_{n \to +\infty} u_n (xe^x - \frac{x}{e^{-x}}) =$
- A) $ +\infty$
- B) 1
- C) n'a pas de limite
- D) 0
Question 59 :
$ \forall n \in \mathbb{N} \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\Pi_{k=1}^n (1 - \sin^k x)}{\cos^{2n}x} =$
- A) $ \frac{1}{2^n}$
- B) 0
- C) n'a pas de limite
- D) $ \frac{n!}{2^n}$
Question 60 :
On muni le plan complexe d'un repère orthonormé $ (0, \overline{u}, \overline{v})$ . Soient $ A, B, C$ les points d'affixes respectives $ z_A, z_B, z_C$ avec $ z_A = 1 - i$ , $ B$ le symétrique de $ A$ par rapport à l'origine, la partie réelle de $ z_C$ est positive et le triangle (ABC) est un triangle rectangle isocèle en $ A$ .
- A) $ |AB| = 3\sqrt{2}$
- B) $ z_B = -1 - i$
- C) $ \arg(z_C) \equiv \pi[2\pi]$
- D) $ z_C = 3+i$
