Question 41 :
Soit $ z$ un nombre complexe tel que $|z|=1$. $ Re\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right) =$
- A) $1$
- B) $0$
- C) $ Re(z)$
- D) $1 - Re(z)$
Question 42 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. L'ensemble des points d'affixe $ z$ tel que $ z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}$ est :
- A) l'axe des abscisses privé du point O
- B) l'axe des abscisses privé du point A(1) union le cercle de centre O et de rayon 1
- C) Le cercle de centre O et de rayon 1 privé des points O et A(1)
- D) l'axe des abscisses privé du point O union le cercle de centre O et de rayon 1
Question 43 :
Soit $ a \in ]0, +\infty[$ et $ f$ la fonction définie par $ f(x) = 1 + x \ln\sqrt{1+\frac{a}{x}}$. $\lim_{x\to+\infty}f(x) =$
- A) $1+\frac{a}{2}$
- B) $1+a$
- C) $+\infty$
- D) $0$
Question 44 :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)e^x dx =$
- A) $\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$
- B) $\frac{1-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$
- C) $1+e^{\frac{\pi}{2}}$
- D) $1-e^{\frac{\pi}{2}}$
Question 45 :
Soit la fonction $ f$ donnée par $ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{si } x \neq 0 \ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$
- A) $ f$ n'est pas continue en 0
- B) $ f$ n'est pas dérivable en 0
- C) $ f'$ n'est pas continue en 0
- D) $ f'$ est continue en 0
Question 46 :
Dans l'espace affine rapporté au repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ on considère la sphère S d'équation cartésienne $ x^2+y^2+z^2-2x+y+1=0$ et le plan P d'équation $\sqrt{2}x-y-z-\alpha=0$. P est tangent à S si :
- A) $\alpha = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ ou $\alpha = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$
- B) $\alpha = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ ou $\alpha = -\frac{3}{2} + \sqrt{2}$
- C) $\alpha = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ ou $\alpha = -\frac{3}{2} + \sqrt{2}$
- D) $\alpha = -\frac{1}{2} - \sqrt{2}$ ou $\alpha = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$
Question 47 :
$\int_1^2 \frac{dx}{x(x^2+1)} =$
- A) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{5}\right)$
- B) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{8}{5}\right)$
- C) $\ln\left(\frac{8}{5}\right)$
- D) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)$
Question 48 :
Soit $ a_n = (1-x)^n(1+x)^n$ et $ B_n = (1-\frac{x}{n})^n(1+\frac{x}{n})^n$ avec $ x \in ]0, 1[$.
- A) $\lim_{n\to+\infty} A_n = e^{-x}$
- B) $\lim_{n\to+\infty} A_n = 1$
- C) $\lim_{n\to+\infty} B_n = e^{-x}$
- D) $\lim_{n\to+\infty} B_n = 1$
Question 49 :
Soit l'équation $(E_m) : z^2 - 4z + m = 0, \, m \in \mathbb{R}$ admettant deux solutions complexes non réelles. $ z_0$ l'une de ses deux racines. On note $ a = 2+i$.
- A) $ a^5 = 38+41i$
- B) $ m \le 4$
- C) $ m = |z_0|^2$
- D) $ \frac{2}{z_0} $ est une racine de $(E_m)$
Question 50 :
On note $ a = 2+i$. Si $ a$ est racine de $(E_m)$ alors $ m =$
- A) $(2+i)^2$
- B) $ Im(2+i)^2$
- C) $5$
- D) $\sqrt{5}$
Question 51 :
Le linéarisé de l'expression $\sin^2 x \cos 3x$ est
- A) $\frac{1}{2}\cos 3x - \frac{1}{4}\cos 5x + \frac{1}{4}\cos x$
- B) $\frac{1}{2}\cos 3x + \frac{1}{4}\cos 5x + \frac{1}{4}\cos x$
- C) $\frac{1}{2}\cos 3x + \frac{1}{4}\cos 5x - \frac{1}{4}\cos x$
- D) $\frac{1}{2}\cos 3x - \frac{1}{4}\cos 5x - \frac{1}{4}\cos x$
Question 52 :
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $ u_0 = 2$ et $ u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$
- A) $(u_n)$ est croissante
- B) $(u_n)$ est décroissante
- C) $(u_n)$ est minorée par 2
- D) $ u_n \ge 2, \forall n \in \mathbb{N}$
Question 53 :
Posons $ v_n = u_n - \sqrt{2}$. $\lim_{n\to+\infty} v_n =$
- A) $+\infty$
- B) $0$
- C) $\sqrt{2}$
- D) $-\sqrt{2}$
Question 54 :
Soit la fonction $ f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $ f(x) = x \ln x + \frac{1}{x}$
- A) $\lim_{x\to0^+} f(x) = -\infty$
- B) $ f'(x) = \ln x + 1 + \frac{1}{x^2}, \forall x \in ]0, +\infty[$
- C) $ C_f$ admet une asymptote oblique en $+\infty$
- D) La tangente à $ C_f$ au point d'abscisse $ x=1$ est horizontale
Question 55 :
On considère les deux suites $(u_n)_{n\ge0}$ et $(v_n)_{n\ge0}$ définies par $ u_0 = 9$, $ u_{n+1} = \sqrt{u_n}$, et $ v_n = \ln u_n$. On note $ S = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ et $ P = u_0 u_1 \dots u_n$.
- A) $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\ln 3$
- B) $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = \frac{1}{2^n} \ln 3$
- C) $\forall n \in \mathbb{N}, S = 4(1 - \frac{1}{2^{n+1}}) \ln 3$
- D) $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$
Question 56 :
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère la transformation $ f$ qui à tout point M d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ z'$ telle que $ M'$ est l'image de M par une rotation de centre A d'affixe $1+i$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ suivi d'une translation de vecteur d'affixe $2-i$. $ z' =$
- A) $ i(z+(1+i))+(1+i)+(2-i)$
- B) $ iz + (4-i)$
- C) $ z + (2-i)$
- D) $-iz + (1-i)$
Question 57 :
$\int_0^{2\pi} |\sin x| dx =$
Question 58 :
Soient $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égal à :
- A) $\begin{pmatrix} 3 \ -4 \ -5 \end{pmatrix}$
- B) $\begin{pmatrix} 3 \ 4 \ -5 \end{pmatrix}$
- C) $\begin{pmatrix} 3 \ -4 \ 5 \end{pmatrix}$
- D) $\begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 5 \end{pmatrix}$
Question 59 :
Dans une ville 30% des habitants utilisent le bus, 50% utilisent la voiture et le reste utilise la marche à pied pour aller au travail. On observe que 90% des usagers de bus et 60% des automobilistes et 100% des piétons sont à l'heure. On choisit un habitant X au hasard.
- A) La probabilité que X soit à l'heure est 0.66
- B) La probabilité que X soit venu en voiture est 0.6
- C) La probabilité que X soit venu en voiture et en retard est 0.15
- D) La probabilité que X soit venu en bus et à l'heure est 0.27
Question 60 :
Une urne contient n boules rouges et m boules vertes. On en tire deux, l'une après l'autre (sans remise). La probabilité pour que la seconde boule tirée soit rouge est :
- A) $\frac{n}{n+m}$
- B) $\frac{n-1}{n+m-1}$
- C) $\frac{n^2}{(n+m)^2}$
- D) $\frac{n^2}{(n+m)(n+m-1)}$
