Question 1
La forme trigonométrique de $ z=\frac{-16}{1+i\sqrt{3}}$ est :
- A) A. $ z=4(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$
- B) B. $ z=8(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$
- C) C. $ z=8(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})$
- D) D. $ z=8(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$
Question 2
Si $ z \in \mathbb{C}$ tel que $ z=\frac{1+2i}{1-3i}$ alors :
- A) A. $|z|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$ $\pmod{2\pi}$
- B) B. $|z|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\arg(z)=-\frac{3\pi}{4}$ $\pmod{2\pi}$
- C) C. $|z|=\frac{1}{2}$ et $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$ $\pmod{2\pi}$
- D) D. $|z|=\frac{1}{2}$ et $\arg(z)=-\frac{3\pi}{4}$ $\pmod{2\pi}$
Question 3
Choisissez l'une des réponses suivantes pour la linéarisation de $\sin^4(x)$ :
- A) A. $\frac{1}{8}\cos(4x)-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{3}{8}$
- B) B. $\frac{1}{8}\cos(4x)+\frac{1}{2}\cos(2x)+5$
- C) C. $\frac{1}{8}\cos(-4x)-\frac{1}{2}\cos(-2x)-\frac{3}{8}$
- D) D. Autre
Question 4
Soit l'application $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $ f(x)=x^2+1$. Alors :
- A) A. $ f^{-1}([1,5])=[-2,2]$
- B) B. $ f^{-1}([0,5])=[-2,0]$
- C) C. $ f^{-1}([1,5])=[0,2]$
- D) D. $ f^{-1}([0,5])=[0,2]$
Question 5
Soit $ f:[-1,1]\rightarrow[-1,1]$ définie par $\forall x\in[-1,1], f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$. L'application f :
- A) A. est injective mais non surjective.
- B) B. est surjective mais non injective.
- C) C. n'est ni injective ni surjective.
- D) D. est bijective et $ f^{-1}(x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$.
Question 6
Soit $ f(x)=\frac{x}{x-1}$ pour $ x\ne1$. L'expression de $\underbrace{f\circ f\circ...\circ f}_{2026~\text{fois}}(x)$ est égale à :
- A) A. $\frac{x}{x-1}$
- B) B. $\frac{2026x}{x-1}$
- C) C. $ x$
- D) D. $(\frac{x}{x-1})^{2026}$
Question 7
Soit $ f$ définie sur $[-1,1]$ par : $ f(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}$ si $ x\ne0$ et $ f(0)=0$. $\lim_{x\rightarrow0}f(x)$ est égale à :
- A) A. $0$
- B) B. $+\infty$
- C) C. n'admet pas de limite en 0
- D) D. $\frac{1}{2}$
Question 8
$\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{x-1}{x+3})^{x+2}=$
- A) A. 1
- B) B. $ e^{-4}$
- C) C. $\sqrt{e}$
- D) D. 0
Question 9
Soit $ f$ définie par $ f(x)=\frac{1}{x}\ln(1+\sin^2(x))$ si $ x\ne0$ et $ f(0)=0$. Choisissez l'une des réponses suivantes :
- A) A. $ f$ est dérivable en 0 et $ f'(0)=0$
- B) B. $ f$ est dérivable en 0 et $ f'(0)=1$
- C) C. $ f$ n'est pas dérivable en 0
- D) D. $ f$ n'est pas dérivable en 0 et $ f'(0^+)=0$
Question 10
Soit la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par : $ f(x)=x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$. La courbe représentative de $ f$ dans le repère orthonormé admet au voisinage de $+\infty$ la droite $(D)$ d'équation suivante comme asymptote :
- A) A. $ y=x$
- B) B. $ y=x+\frac{1}{2}$
- C) C. $ y=x+2$
- D) D. Autre réponse
Question 11
Soit $ f$ définie sur $[1/e; e]$ par : $ f(x)=x^2+x-3\ln x$.
- A) A. $ f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[1; e]$.
- B) B. $ f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1/e; 1]$.
- C) C. $ f$ admet un minimum en $ x_0=1$.
- D) D. $ f$ admet un maximum en $ x_0=1$.
Question 12
Soient $ f$ et $ g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $ f(x)=x^2+8x-7$ et $ g(x)=-x^2+2x+13$. L'aire du domaine situé entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[-5; 2]$ vaut :
- A) A. $\frac{77}{5}$
- B) B. $\frac{133}{4}$
- C) C. $\frac{343}{3}$
- D) D. $\frac{111}{9}$
Question 13
$ S=1+\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}+...+90$ est égale à :
- A) A. 8055
- B) B. $\frac{16289}{2}$
- C) C. 8100
- D) D. $\frac{15931}{2}$
Question 14
Pour tout $ n\in\mathbb{N}$, on pose $ u_n=\sum_{k=0}^n(\frac{3}{2})^k$. Alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=$
- A) A. $\frac{1}{2}$
- B) B. $+\infty$
- C) C. $\frac{3}{2}$
- D) D. $\frac{2}{3}$
Question 15
Pour tout $ n\in\mathbb{N}$, on pose $ u_n=\sqrt{\frac{8n^2-3n+1}{2}}-2n$. Alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$ est égale à :
- A) A. 0
- B) B. $-\frac{3}{4}$
- C) C. $+\infty$
- D) D. Autre réponse
Question 16
Calculer l'intégrale suivante : $\int_1^2(1+2x)\ln(1+\frac{1}{x})dx=$
- A) A. $1+\ln 2$
- B) B. $\frac{\ln 5}{2}$
- C) C. $2e-1$
- D) D. Autre réponse
Question 17
Calculer l'intégrale suivante : $\int_0^1 x(e^{-x}-e^{-2x})dx=$
- A) A. 2
- B) B. $ e^2-1$
- C) C. $4e+\frac{1}{2}$
- D) D. Autre réponse
Question 18
L'intégrale $\int_0^1 x(1-x)^ndx$, où $ n\in\mathbb{N}$, vaut :
- A) A. $\frac{1}{n+1}$
- B) B. $\frac{1}{n+2}$
- C) C. $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
- D) D. $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$
Question 19
Une urne contient 10 boules identiques au toucher : 7 blanches et 3 noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et une boule noire est égale à :
- A) A. $\frac{21}{40}$
- B) B. $\frac{42}{60}$
- C) C. $\frac{21}{60}$
- D) D. $\frac{45}{56}$
Question 20
La fonction $ y$ solution de l'équation différentielle $ y'(x)+2y(x)=6$ avec la condition initiale $ y(0)=1$ est définie sur l'ensemble des nombres réels par :
- A) A. $ y(x)=-2\exp(-2x)+3$
- B) B. $ y(x)=-2\exp(2x)+3$
- C) C. $ y(x)=-2\exp(2x)-3$
- D) D. Autre réponse
