Question 1
Si z est le nombre complexe de module \(\sqrt{2}\) et d'argument \(\frac{\pi}{3}\), alors \(z^8\) est égal à :
- A) $8 + i8\sqrt{3}$
- B) $-8 + i8\sqrt{3}$
- C) $-8 - i8\sqrt{3}$
- D) $8 - i8\sqrt{3}$
- E) $4 + i4\sqrt{3}$
Question 2
Si \(\theta\) est un nombre réel, alors \(\cos^3\theta\) est égal à :
- A) $\frac{1}{8}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$
- B) $\frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$
- C) $\frac{1}{4}(\sin 3\theta + 3\sin \theta)$
- D) $\frac{1}{8}(3\cos \theta - \cos 3\theta)$
- E) $\frac{1}{8}(\sin 3\theta + 3\sin \theta)$
Question 3
Si \(x \in ]0,1[\), alors \(\lim_{n \to +\infty} (1-x)^n(1+x)^n\) est égale à :
- A) $+\infty$
- B) $-\infty$
- C) $0$
- D) $-1$
- E) $1$
Question 4
Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\) est :
- A) $]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[$
- B) $]-1,1[ \cup ]1, +\infty[$
- C) $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$
- D) $]-\infty, -1[ \cup ]0,1[ \cup ]1, +\infty[$
- E) $]-1,1[$
Question 5
Si \(f(x) = (x^2 - x)e^{\frac{1}{x}}\) alors \(f'(x)\) est égale à :
- A) $(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$
- B) $(1-\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$
- C) $(\frac{1}{x}-1)e^{\frac{1}{x}}$
- D) $(2x-2+\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$
- E) $(2x-\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$
Question 6
Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\), si \(\arg(z-1) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]\) et \(\arg(z+1) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\), alors \(z\) est égal à :
- A) $\sqrt{3}i$
- B) $2\sqrt{3}i$
- C) $-\sqrt{3}i$
- D) $-2\sqrt{3}i$
- E) $1+\sqrt{3}i$
Question 7
Si \(z = 1 + ie^{\frac{i\theta}{2}}\) où \(\theta \in ]-\pi, \pi[\) alors \(|z|\) est égal à :
- A) $2$
- B) $2\cos\frac{\theta}{2}$
- C) $2\cos\frac{\theta+\pi}{4}$
- D) $\cos\frac{\theta+\pi}{4}$
- E) $2\sin\frac{\theta}{4}$
Question 8
On a \(\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2n}\) est égale à :
- A) $0$
- B) $ e^{-4}$
- C) $ e^{4}$
- D) $ e$
- E) $1$
Question 9
Si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite géométrique de premier terme \(u_1 = 2\) et de raison \(q = \frac{1}{3}\) alors le produit \(u_1 \times u_2 \times u_3 \times \ldots \times u_n\) est égal à :
- A) $2^n \cdot 3^{\frac{n(n-1)}{2}}$
- B) $\frac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$
- C) $\frac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}{2}}}$
- D) $2^n \cdot 3^{\frac{n(n+1)}{2}}$
- E) $\frac{1}{2^n \cdot3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$
Question 10
Si \(\forall x \in \mathbb{R}\) ; \(f(x) = (x - 5)(x - 4)(x - 3)(x - 2)(x - 1)\) alors \(f'(1)\) est égale à :
- A) $24$
- B) $1$
- C) $0$
- D) $5$
- E) $-24$
Question 11
Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = \frac{2\ln x}{x(1 + (\ln x)^2)}\). La primitive de \(f\) sur \(]0, +\infty[\) qui s'annule en 1 est :
- A) $\ln((\ln x)^2 + 1)$
- B) $(\ln x)^2$
- C) $2\ln((\ln x)^2 + 1)$
- D) $\frac{x\ln x}{\ln x + 1}$
- E) $\frac{2\ln x}{(\ln x)^2 + 1}$
Question 12
L'intégrale \(\int_{0}^{1}\frac{2t + 3}{t + 2}dt\) est égale à :
- A) $\ln\frac{3}{2}$
- B) $2 + \ln\frac{3}{2}$
- C) $2 - \ln\frac{2}{3}$
- D) $2 + \ln\frac{2}{3}$
- E) $\ln\frac{2}{3}$
Question 13
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(O, u, v\). L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tel que : \(z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) est :
- A) L'axe des réels privé du point $ O$
- B) Le cercle de centre $ O$ et de rayon 1
- C) L'axe des réels privé des deux points $ A(-1)$ et $ B(1)$
- D) Le cercle de centre $ O$ et de rayon 1 privé des deux points $ A(-1)$ et $ B(1)$
- E) L'axe des réels privé du point $ O$ union le cercle de centre $ O$ et de rayon 1
Question 14
Soit \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par : \(w_0 = \frac{1}{2}\) et \(\forall n \in \mathbb{N}\) ; \(w_{n+1} = (w_n - 1)^2 + 1\). Si \((w_n)\) est convergente alors \(\lim_{n \to +\infty} w_n\) est égale à :
- A) $0$
- B) $2$
- C) $1$
- D) $\frac{1}{2}$
- E) $-1$
Question 15
Soit \(a \in [0, +\infty]\) et \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = 1 + x\ln\sqrt{1 + \frac{a}{x}}\), alors \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) est égale à :
- A) $1$
- B) $1 + \frac{a}{2}$
- C) $1 + a$
- D) $+\infty$
- E) $ a$
Question 16
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que : \(AB = AC = 10\). L'aire maximale du triangle \(ABC\) est :
- A) $25 \sqrt{2}$
- B) $50$
- C) $100$
- D) $10$
- E) $5\sqrt{2}$
Question 17
Si \(\forall x \in \mathbb{R}^*_+\) ; \(f(x) = x^3 + 3\ln x + 1\) alors le nombre dérivé \((f^{-1})'(2)\) est égal à :
- A) $\frac{1}{3}$
- B) $\frac{1}{6}$
- C) $\frac{1}{5}$
- D) $\frac{1}{4}$
- E) $\frac{1}{2}$
Question 18
L'intégrale \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)e^x dx\) est égale à :
- A) $\frac{1 + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$
- B) $\frac{e + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$
- C) $\frac{1 - e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$
- D) $1 + e^{\frac{\pi}{2}}$
- E) $1 - e^{\frac{\pi}{2}}$
Question 19
On considère la fonction \(f\) définie par : \(\forall x \in \mathbb{R}\) \(f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\). Un encadrement de \(f'(x)\) sur l'intervalle \([0,1]\) est :
- A) $0 \leq f'(x) \leq \frac{1}{\sqrt{e}}$
- B) $-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f'(x) \leq 0$
- C) $-\frac{1}{2} \leq f'(x) \leq 0$
- D) $0 \leq f'(x) \leq \sqrt{e}$
- E) $-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f'(x) \leq -\frac{1}{2}$
Question 20
Soit \(f(x) = \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} - ax\sqrt{x + b}\) avec \(a\) et \(b\) deux réels donnés. \(f\) admet une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si :
- A) $ a > 0$ et $ b > 0$
- B) $ a = 1$ et $ b > 0$
- C) $ a = 1$ et $ b = 2$
- D) $ a = 1$ et $ b = 0$
- E) $ a > 0$ et $ b = 0$
