Question 1
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\ln(e + x)} - 1}{\sqrt{x + 1} - 1} \text{ est égale à :}\)
- A) \(\frac{1}{2e}\)
- B) \(\frac{1}{e}\)
- C) \(1\)
- D) \(e\)
- E) \(2e\)
Question 2
Si \( f(x) = \frac{1}{1-x} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \) alors \( f'(x) \) est égale à :
- A) \(\frac{1}{(1-x)^2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x(1-x^2)}\)
- B) \(\frac{1}{(1-x)^2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x(1-x^2)}\)
- C) \(\frac{1}{1-x^2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x(1-x^2)}\)
- D) \(\frac{1}{(1-x)^2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x(1-x^2)}\)
- E) \(\frac{1}{(1-x)^2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{(1-x^2)}\)
Question 3
Le nombre complexe \(\left( \frac{7-15i}{15+7i} \right)^{2021}\) est égal à :
- A) \(i\)
- B) \(-1\)
- C) \(7-15i\)
- D) \(-i\)
- E) \(7+15i\)
Question 4
Si \( x \in [0,1] \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \left( 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n \right) \) est égale à :
- A) \(\frac{1}{x-1}\)
- B) \(\frac{1}{1-x}\)
- C) \(1\)
- D) \(\frac{-1}{1+x}\)
- E) \(\frac{1}{1+x}\)
Question 5
Dans \( \mathbb{R} \), le nombre de solutions de l'équation \( x^5 + x - 1 = 0 \) est :
- A) \(0\)
- B) \(1\)
- C) \(2\)
- D) \(3\)
- E) \(5\)
Question 6
Dans l'ensemble \( \mathbb{C} \), si \( |z| z̄ = 15 - 20i \) alors \( |(1+i)z| \) est égal à :
- A) \(\sqrt{2}\)
- B) \(2\sqrt{2}\)
- C) \(3\sqrt{2}\)
- D) \(4\sqrt{2}\)
- E) \(5\sqrt{2}\)
Question 7
Si \( f \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R}^* \) par \( f(x) = \frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x} \) alors :
- A) \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\)
- B) \(\lim_{x \to 0} f(x) = -1\)
- C) \(\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}\)
- D) \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
- E) La fonction \( f \) n'admet pas de limite en \( 0 \)
Question 8
\( (u_n)_{n \geq 0} \) est la suite définie par : \( u_0 = 1 \) et pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_{n+1} = u_n^2 + u_n \)
La limite de la suite \( (u_n)_{n \geq 0} \) si elle existe, est égale à :
- A) \(1\)
- B) \(+\infty\)
- C) \(0\)
- D) \(-1\)
- E) Autre valeur
Question 9
L'intégrale \( \int_0^1 \frac{x}{1+e^{-x^2}} dx \) est égale à :
- A) \(\sqrt{\ln\left(\frac{1+e}{2}\right)}\)
- B) \(\ln\sqrt{1+e}\)
- C) \(\ln(1+e)\)
- D) \(\ln\sqrt{\frac{1+e}{2}}\)
- E) \(\sqrt{\ln(1+e)}\)
Question 10
Si \( f(1) = 4 \) et \( (\forall x \in \mathbb{R}_+^* ) \) ; \( f'(x) = 2x + \ln x \) alors \( f(e) \) est égale à :
- A) \(e^2\)
- B) \(e + 4\)
- C) \(e^2 + 4\)
- D) \(e\)
- E) \(4\)
Question 11
Dans l'ensemble \( \mathbb{C} \), si \( z = 1 + i (1 + \sqrt{2}) \) alors :
- A) \( |z| = 2\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \) et arg \( z = \frac{3\pi}{8} [2\pi] \)
- B) \( |z| = 2\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \) et arg \( z = \frac{\pi}{8} [2\pi] \)
- C) \( |z| = 2\sqrt{2} \cos \frac{3\pi}{8} \) et arg \( z = \frac{3\pi}{8} [2\pi] \)
- D) \( |z| = 2\sqrt{2} \cos \frac{3\pi}{8} \) et arg \( z = \frac{\pi}{8} [2\pi] \)
- E) \( |z| = 2\cos \frac{\pi}{8} \) et arg \( z = \frac{3\pi}{8} [2\pi] \)
Question 12
Si \( \int_1^2 f'(x)f''(x)dx = 8 \) et \( f'(2) - f'(1) = 2 \) alors \( f'(2) + f'(1) \) est égal à :
- A) \(4\)
- B) \(6\)
- C) \(8\)
- D) \(10\)
- E) \(12\)
Question 13
Soit \( q \in \mathbb{R} \). Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) on pose \( S_n = \sum_{k=1}^{k=n} q^k \)
Si la suite \( (S_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) est convergente et \( \lim_{n \to +\infty} S_n = 4 \), alors \( q \) est égal à :
- A) \(\frac{2}{3}\)
- B) \(\frac{3}{4}\)
- C) \(\frac{4}{5}\)
- D) \(\frac{5}{6}\)
- E) \(\frac{6}{7}\)
Question 14
L'intégrale \( I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx \) est égale à :
- A) \(\frac{\pi}{3}\)
- B) \(\frac{\pi}{4}\)
- C) \(\frac{\pi}{6}\)
- D) \(\frac{\pi}{8}\)
- E) \(\frac{\pi}{12}\)
Question 15
Dans l'ensemble \( \mathbb{C} \), si \( |z_1| = |z_2| = 1 \) et \( |z_1 + z_2| = \sqrt{3} \) alors \( |z_1 - z_2| \) est égal à :
- A) \(1\)
- B) \(3\)
- C) \(\sqrt{3}\)
- D) \(2\)
- E) \(\sqrt{2}\)
Question 16
\( (u_n)_{n \geq 0} \) est la suite définie par : \( u_0 = 0 \), \( u_1 = 1 \) et pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( u_n = \sqrt{\frac{u_{n+1}^2 + u_{n-1}^2}{2}} \)
\(\lim u_n\) est égale à :
- A) \(0\)
- B) \(+\infty\)
- C) \(1\)
- D) \(\sqrt{2}\)
- E) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Question 17
Soient \( (a; b) \in \mathbb{R}^2 \) et \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[f(x) = \begin{cases} ax + b, & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{si } x > 0 \end{cases}\] La fonction \( f \) est dérivable en 0 si et seulement si :
- A) \( a = 1 \) et \( b = 1 \)
- B) \( a = -1 \) et \( b = 1 \)
- C) \( a = 2 \) et \( b = 1 \)
- D) \( a = -1 \) et \( b = -1 \)
- E) \( a = -1 \) et \( b = 0 \)
Question 18
Soient \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = 3x^2 + 2ax + b\)
Si \(\int_{-1}^{1} f(x)dx < 2\) alors le nombre de solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation \(f(x) = 0\) est :
Question 19
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\) et \(\alpha \in \left]0; \frac{\pi}{2}\right[\)
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l'équation d'inconnue \(z\)
\((E) : z^2 - \sin(2\alpha)z + \sin^2(\alpha) = 0\)
La valeur de \(\alpha\) pour laquelle les points \(O\), \(M(z_1)\) et \(M(z_2)\) sont les sommets d'un triangle équilatéral est :
- A) \(\frac{\pi}{3}\)
- B) \(\frac{\pi}{4}\)
- C) \(\frac{\pi}{5}\)
- D) \(\frac{\pi}{6}\)
- E) \(\frac{\pi}{8}\)
Question 20
Pour tout entier naturel non nul \(n\) et pour tout réel \(x\) on pose : \(f_n(x) = e^{-x} - nx\)
On a :
- A) \((\forall n \in \mathbb{N}^*), (\exists! a_n \in \left]0;1\right[) : f_n(a_n) = 0\) et \(\lim_{n\to+\infty} na_n = 1\)
- B) \((\forall n \in \mathbb{N}^*), (\exists! a_n \in \left]0;1\right[) : f_n(a_n) = 0\) et \(\lim_{n\to+\infty} na_n = 0\)
- C) \((\forall n \in \mathbb{N}^*), (\exists! a_n \in \left]0;1\right[) : f_n(a_n) = 0\) et \(\lim_{n\to+\infty} na_n = e\)
- D) \((\forall n \in \mathbb{N}^*), (\exists! a_n \in \left]-1;0\right[) : f_n(a_n) = 0\) et \(\lim_{n\to+\infty} na_n = 0\)
- E) \((\forall n \in \mathbb{N}^*), (\exists! a_n \in \left]-1;0\right[) : f_n(a_n) = 0\) et \(\lim_{n\to+\infty} na_n = 1\)
