Correction de l'épreuve de Mathématiques

Dans C, l'ensemble des solutions de l'équation \(\frac{2z - 1}{z + 1} = z\) est :

Si \(f\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y'' + 2y' + 4y = 0\), alors la fonction \(g = 2f\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle :

Si \(z = e^{-i\theta} - e^{i\theta}\) avec \(\theta \in ]0; \pi[\), alors \(|z|\) est égal à :

\(\lim_{n \to +\infty} n - \sqrt{n^2 - n}\) est égale à :

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les deux points \(A(1; 2; 3)\) et \(B(2; 0; 1)\). L'ensemble des points \(M(x; y; z)\) équidistants des points \(A\) et \(B\) est :

Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\), si \(\arg(iz) \equiv \frac{7\pi}{6} [2\pi]\) et \(|z| = \sqrt{2}\), alors la partie imaginaire de \(z^3\) est égale à :

Soit \(a \in \mathbb{R}^*\). Si \(\int_0^1 \frac{e^{at}}{1+e^{at}} dt = \frac{1}{a}\) alors \(a\) est égal à :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Soit \(z\) un nombre complexe et \(\Omega\), \(M\) et \(M'\) les points d'affixes respectivement \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\), \(z\) et \(z'\) tel que : \(z' = (1 + i\sqrt{3})z + i\). Alors une mesure de l'angle \((\Omega M, \Omega M')\) est :

ABCD est un carré de côté 1. On place les points \(E\) et \(F\) respectivement sur les côtés \(AB\) et \(BC\) tels que \(BE = CF = x\). La valeur de \(x\) pour laquelle l'aire du triangle \(EFD\) est minimale est :

Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\), si \(|z| - z = 3 - i\sqrt{3}\), alors \(|z|\) est égal à :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Soient \(A\) et \(B\) les points d'affixes respectives \(-i\) et \(i\). L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tel que \( \left| \frac{iz - 1}{z̄ + i} \right| = 1 \) est :

Soit \(x \in \mathbb{R}^*\). Si \(\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{7n} \right)^{29n} = 2022\) alors \(x\) est égal à :

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère le plan \(P\) d'équation \(3x - 2z + 3 = 0\). On dispose d'un dé régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On lance le dé et on obtient ainsi de manière équiprobable un nombre \(a\) (\(1 \leq a \leq 6\)). La probabilité que le point \(A(a^2; 2a; 6a - 3)\) appartient au plan \((P)\) est :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2e^{3x} - 6\). La primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) dont la courbe représentative coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3 est définie par :

L'intégrale \(\int_0^3 \frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^3 + 6x + 4}} dx\) est égale à :

Si \((v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est une suite telle que : \((\forall n \in \mathbb{N}^*) : v_1 + v_2 + ...... + v_n = 2n^2 + n\), alors \(v_8\) est égal à :

Soit \(f\) une fonction numérique dérivable sur \(\mathbb{R}\). Si \((\forall x \in \mathbb{R}) : f(2x - 1) = x^2 + 3x\) alors \(f(1) + f'(1)\) est égal à :

Si pour tout entier naturel \(n\), \(I_n = \int_1^e x(\ln x)^n \, dx\) alors \((\forall n \in \mathbb{N}^*) : 2I_{n+1} + (n+1)I_n\) est égal à :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sum_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n}\) et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. L'équation réduite de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 1 est :

On considère la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(u_0 \in [0,1]\) et \((\forall n \in \mathbb{N})\) : \(u_{n+1} = f(u_n)\) où \(f\) est la fonction définie sur \([0,1]\) par : \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{1-x}}\). On a alors :