Question 43
1 pt
Soit \( I = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx \). Quelle est la valeur de \( I \) ?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) \(\pi\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 44
1 pt
Quelle est la valeur de l'intégrale définie suivante : \( J = \int_{0}^{1} \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \, dx \)
- A) \(\frac{1}{2}\)
- B) \(\frac{\pi}{4}\)
- C) \(\frac{1}{4}\)
- D) 0
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 45
3 pts
Soit la suite \((U_n)\) définie par \( U_1 = 1 \) et pour tout \( n \geq 1 \), \( U_{n+1} = \sqrt{2+U_n} \). Quelle est la limite de la suite \((U_n)\) ?
- A) \(\sqrt{2}\)
- B) \(1+\sqrt{2}\)
- C) la suite est divergente
- D) 2
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 46
1 pt
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres complexes tels que \( a \neq b \) et \(|a|=1\). Quelle est la valeur de : \( \left|\frac{a-b}{1-āb}\right| \)
- A) \(\frac{1}{2}\)
- B) 1
- C) 2
- D) \(\sqrt{2}\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 47
3 pts
Soit \( c = 1 + \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{2\pi}{5} + \dots + \cos\frac{9\pi}{5} \) et \( s = \sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{2\pi}{5} + \dots + \sin\frac{9\pi}{5} \). Quelle est la valeur de \( z = c + is \) ?
- A) 1
- B) 2
- C) -1
- D) 0
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 48
1 pt
On définit la fonction : \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(f\) est-elle continue en \(x=0\) ?
- A) 0
- B) \(\frac{1}{2}\)
- C) 1
- D) -1
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 49
1 pt
Soit la fonction \( f(x) = \sin x + \cos x \). Quelle est la valeur maximale de \( f(x) \) sur \(\mathbb{R}\) ?
- A) 1
- B) \(\sqrt{2} + 1\)
- C) 2
- D) \(\sqrt{2}\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 50
1 pt
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \( \frac{e^{2x-1}}{\sqrt{e^{2x+4}}} = e^{-x} \). Quelle est la bonne réponse ?
- A) \(x=1\)
- B) \(x=0\)
- C) \(x=\frac{3}{2}\)
- D) \(x=-1\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 51
2 pts
Une urne U contient 9 boules : dont 5 boules rouges numérotées de 1 à 5 et 4 boules noires numérotées de 1 à 4. On suppose que les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l'urne. On considère les deux événements A: « les deux boules tirées sont de même couleur » et B: « les deux boules tirées portent un numéro pair ». Calculer \( P_{\overline{A}}(B) \) ?
- A) \(\frac{1}{18}\)
- B) \(\frac{17}{18}\)
- C) \(\frac{2}{9}\)
- D) \(\frac{1}{5}\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 52
1 pt
On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
- A) \(\frac{1}{6}\)
- B) \(\frac{11}{36}\)
- C) \(\frac{5}{36}\)
- D) \(\frac{25}{36}\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 53
1 pt
Soient les points : \(A(1,1,-2)\), \(B(0,5,5)\), \(C(6,-3,-5)\), \(D(1,2,0)\). Le vecteur \(\vec{AD}\) appartient-il au plan vectoriel engendré par \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ? Autrement dit, existe-t-il des réels \(x\) et \(y\) tels que : \(\vec{AD} = x\vec{AB} + y\vec{AC}\)
- A) Oui, pour \(x=\frac{1}{4}, y=\frac{1}{8}\)
- B) Oui, pour \(x=\frac{5}{16}, y=\frac{1}{16}\)
- C) Oui, pour \(x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}\)
- D) Non, car le vecteur \(\vec{AD}\) n'est pas une combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 54
1 pt
Soient les vecteurs : \(\vec{U}(1,2,-1)\), \(\vec{V}(3,6,-3)\), \(\vec{W}(0,1,1)\). Quelle est la valeur de ce produit : \( (\vec{U} \wedge \vec{V}) \cdot \vec{W} \) ?
- A) 0
- B) 3
- C) -1
- D) 2
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 55
2 pts
La fonction \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x+e^x} \) admet au point O (0,0) une tangente d'équation :
- A) \(y=x\)
- B) \(y=x+1\)
- C) \(y=-2x\)
- D) \(y=x-1\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
Question 56
1 pt
On considère le nombre complexe : \(z=(1+i)^{20}\). Quelle est la partie imaginaire de z ?
- A) \(2^{10}\)
- B) \(-2^{10}\)
- C) 0
- D) \(\sqrt{2}\)
- E) Aucune des réponses n'est juste
