Session Normale

1. a) Équation cartésienne de la sphère $(S)$ :
   La sphère $(S)$ a pour centre $O(0,0,0)$ et pour rayon $R=2$.
   $M(x,y,z) \in (S) \iff OM^2 = R^2 \iff (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 2^2$.
   
   $(S) : x^2 + y^2 + z^2 = 4$
   
   
   b) Vérifions que $A$ et $B$ appartiennent à $(S)$ :
   • Pour $A(0,0,2)$ : $0^2 + 0^2 + 2^2 = 4 = R^2 \implies A \in (S)$.
   • Pour $B(2,0,0)$ : $2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 = R^2 \implies B \in (S)$.
   
   $A \in (S)$ et $B \in (S)$
2. a) Intersection du plan $(OAB)$ avec la sphère $(S)$ :
   Le plan $(OAB)$ passe par l'origine $O$, qui est le centre de la sphère $(S)$.
   Par conséquent, la distance de $O$ au plan $(OAB)$ est $d(O,(OAB)) = 0 < R = 2$.
   
   $(OAB) \cap (S)$ est le grand cercle de centre $O(0,0,0)$ et de rayon $R=2$.
   
   
   b) Vérifions que $\vec{OI} \cdot \vec{AB} = 0$ et montrons que $d(O,(AB)) = \sqrt{2}$ :
   Le point $I$ est le milieu de $[AB]$, donc :
   $$I\left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}\right) \implies I(1,0,1)$$ On a $\vec{OI}(1,0,1)$ et $\vec{AB}(2-0, 0-0, 0-2) = (2,0,-2)$.
   $$\vec{OI} \cdot \vec{AB} = (1)(2) + (0)(0) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$$
   $\vec{OI} \cdot \vec{AB} = 0 \implies (OI) \perp (AB)$
   
   Puisque $(OI) \perp (AB)$ et $I \in (AB)$, le point $I$ est la projection orthogonale du point $O$ sur la droite $(AB)$.
   Ainsi :
   $$d(O,(AB)) = OI = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$
   $d(O,(AB)) = \sqrt{2}$
3. a) Vérifions que $\vec{AB} \wedge \vec{AM} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}$ :
   On a $\vec{AB}(2,0,-2)$ et $\vec{AM}(0-0, m-0, 0-2) = (0,m,-2)$.
   $$\vec{AB} \wedge \vec{AM} = \begin{vmatrix} 0 & m \\ -2 & -2 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & m \end{vmatrix}\vec{k}$$ $$= (0 - (-2m))\vec{i} - (-4 - 0)\vec{j} + (2m - 0)\vec{k} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}$$
   $\vec{AB} \wedge \vec{AM} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}$
   
   
   b) Équation cartésienne du plan $(ABM)$ :
   Le vecteur $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AM} = (2m, 4, 2m)$ est normal au plan $(ABM)$.
   Donc une équation de $(ABM)$ s'écrit sous la forme : $2mx + 4y + 2mz + d = 0$.
   Comme $A(0,0,2) \in (ABM)$ : $2m(0) + 4(0) + 2m(2) + d = 0 \implies d = -4m$.
   L'équation devient : $2mx + 4y + 2mz - 4m = 0$. En divisant par 2 :
   
   $(ABM) : mx + 2y + mz - 2m = 0$
   
   
   c) Montrons que $d(O,(ABM)) = \frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}$ :
   $$d(O,(ABM)) = \frac{|m(0) + 2(0) + m(0) - 2m|}{\sqrt{m^2 + 2^2 + m^2}} = \frac{|-2m|}{\sqrt{2m^2 + 4}} = \frac{2|m|}{\sqrt{4 + 2m^2}}$$
   $d(O,(ABM)) = \frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}$
4. Calcul du rayon $r$ et encadrement :
   Le plan $(ABM)$ coupe la sphère $(S)$ suivant le cercle $(\Gamma_m)$ de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ :
   $$r = \sqrt{2^2 - \left(\frac{2|m|}{\sqrt{2m^2+4}}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{4m^2}{2m^2+4}} = \sqrt{\frac{4(2m^2+4) - 4m^2}{2m^2+4}} = \sqrt{\frac{4m^2+16}{2(m^2+2)}} = \sqrt{\frac{2m^2+8}{m^2+2}}$$ $$r = \sqrt{\frac{2(m^2+2) + 4}{m^2+2}} = \sqrt{2 + \frac{4}{2+m^2}}$$
   $r = \sqrt{2 + \frac{4}{2+m^2}}$
   
   Déduisons l'encadrement :
   Pour tout $m \in \mathbb{R}$, on a $m^2 \ge 0 \implies m^2+2 \ge 2$.
   Par passage à l'inverse : $0 < \frac{1}{m^2+2} \le \frac{1}{2} \implies 0 < \frac{4}{m^2+2} \le 2$.
   En ajoutant 2 : $2 < 2 + \frac{4}{m^2+2} \le 4$.
   Par croissance stricte de la fonction racine carrée sur $[0, +\infty[$ :
   $$\sqrt{2} < \sqrt{2 + \frac{4}{2+m^2}} \le \sqrt{4} \implies \sqrt{2} < r \le 2$$
   Pour tout $m \in \mathbb{R}$ : $\sqrt{2} < r \le 2$

1. a) Calcul de $a+b$ et déduction de l'affixe de $P$ :
   On a $a = 1+2i$ et $b = \bar{a} = 1-2i$.
   $$a + b = (1+2i) + (1-2i) = 2$$ Le point $P$ est le milieu du segment $[AB]$, donc son affixe est :
   $$p = \frac{a+b}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
   $a+b=2$  et  $p=1$
   
   
   b) Résolution de l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$ :
   Le discriminant de l'équation est :
   $$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$$ L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
   $$z_1 = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i = a \quad\text{et}\quad z_2 = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i = b$$
   $a$ et $b$ sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$
2. a) Vérifions que $|\omega-a| = |\omega-b| = |\omega-c|$ :
   • $|\omega-a| = \left|\frac{5}{2} - (1+2i)\right| = \left|\frac{3}{2} - 2i\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$
   • $|\omega-b| = \left|\frac{5}{2} - (1-2i)\right| = \left|\frac{3}{2} + 2i\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \frac{5}{2}$
   • $|\omega-c| = \left|\frac{5}{2} - \frac{9+3i}{2}\right| = \left|-2 - \frac{3}{2}i\right| = \sqrt{(-2)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \frac{5}{2}$
   
   $|\omega-a| = |\omega-b| = |\omega-c| = \frac{5}{2}$
   
   
   b) Déduction géométrique :
   On a $\Omega A = |\omega-a| = \frac{5}{2}$, $\Omega B = |\omega-b| = \frac{5}{2}$ et $\Omega C = |\omega-c| = \frac{5}{2}$.
   Donc $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \frac{5}{2}$.
   
   Le point $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
3. a) Vérifions que $\frac{d-c}{a-b} = \frac{3}{4}i$ :
   $$d - c = \frac{3+3i}{2} - \frac{9+3i}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$a - b = (1+2i) - (1-2i) = 4i$$ $$\frac{d-c}{a-b} = \frac{-3}{4i} = \frac{-3(-i)}{4i(-i)} = \frac{3i}{4(-i^2)} = \frac{3i}{4} = \frac{3}{4}i$$
   $\frac{d-c}{a-b} = \frac{3}{4}i$
   
   
   b) Montrons que $d-b = (c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}$ et déduisons l'orthogonalité :
   Calculons le rapport $\frac{d-b}{c-a}$ :
   $$d - b = \frac{3+3i}{2} - (1-2i) = \frac{3+3i - 2 + 4i}{2} = \frac{1+7i}{2}$$ $$c - a = \frac{9+3i}{2} - (1+2i) = \frac{9+3i - 2 - 4i}{2} = \frac{7-i}{2}$$ $$\frac{d-b}{c-a} = \frac{1+7i}{7-i} = \frac{(1+7i)(7+i)}{(7-i)(7+i)} = \frac{7 + i + 49i - 7}{7^2 + 1^2} = \frac{50i}{50} = i = e^{i\frac{\pi}{2}}$$
   $d-b = (c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}$
   
   Déduction :
   On a $\frac{d-b}{c-a} = i \implies \arg\left(\frac{d-b}{c-a}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \;[2\pi] \implies (\vec{AC}, \vec{BD}) \equiv \frac{\pi}{2} \;[2\pi]$.
   
   Les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
4. a) Écriture complexe de l'homothétie $h$ :
   $h(M) = M' \iff z' - c = \frac{2}{3}(z - c) \iff z' = \frac{2}{3}z + \frac{1}{3}c$.
   Comme $c = \frac{9+3i}{2}$, on obtient :
   $$z' = \frac{2}{3}z + \frac{1}{3}\left(\frac{9+3i}{2}\right) = \frac{2}{3}z + \frac{3+i}{2} = \frac{2}{3}z + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$$
   $z' = \frac{2}{3}z + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$
   
   
   b) Affixe du point $G = h(P)$ :
   On a $p = 1$, donc :
   $$g = \frac{2}{3}(1) + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{4 + 9}{6} + \frac{1}{2}i = \frac{13}{6} + \frac{1}{2}i$$
   $g = \frac{13}{6} + \frac{1}{2}i$
5. Alignement des points $\Omega$, $G$ et $D$ :
   Calculons $\frac{g-\omega}{d-\omega}$ :
   $$g - \omega = \left(\frac{13}{6} + \frac{1}{2}i\right) - \frac{5}{2} = \frac{13 - 15}{6} + \frac{3}{6}i = \frac{-2 + 3i}{6}$$ $$d - \omega = \frac{3+3i}{2} - \frac{5}{2} = \frac{-2 + 3i}{2}$$ $$\frac{g-\omega}{d-\omega} = \frac{\frac{-2+3i}{6}}{\frac{-2+3i}{2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \in \mathbb{R}$$ Puisque $\frac{g-\omega}{d-\omega} \in \mathbb{R}$ (soit $\vec{\Omega G} = \frac{1}{3}\vec{\Omega D}$) :
   
   Les points $\Omega$, $G$ et $D$ sont alignés.

1. a) Montrons que $p(A) = \frac{2}{5}$ :
   L'urne contient 4 boules portant le numéro 1 (3 blanches et 1 noire).
   Pour réaliser l'événement $A$, il faut tirer 2 boules parmi ces 4 boules : $\text{card}(A) = C_4^2 = 6$.
   $$p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{C_4^2}{C_6^2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$
   $p(A) = \frac{2}{5}$
   
   
   b) Montrons que $p(B) = \frac{7}{15}$ :
   L'événement $B$ correspond au tirage de 2 boules blanches (parmi 4) OU de 2 boules noires (parmi 2).
   $$\text{card}(B) = C_4^2 + C_2^2 = 6 + 1 = 7$$ $$p(B) = \frac{\text{card}(B)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{7}{15}$$
   $p(B) = \frac{7}{15}$
   
   
   c) Étude de l'indépendance de $A$ et $B$ :
   $A \cap B$ est l'événement : « Les deux boules tirées portent le numéro 1 ET sont de même couleur ».
   Comme il n'y a qu'une seule boule noire portant le numéro 1, on ne peut pas tirer deux boules noires portant le numéro 1.
   Donc $A \cap B$ correspond uniquement à tirer 2 boules blanches portant le numéro 1 parmi les 3 blanches qui portent 1 :
   $$\text{card}(A \cap B) = C_3^2 = 3 \implies p(A \cap B) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = \frac{15}{75}$$ D'autre part :
   $$p(A) \times p(B) = \frac{2}{5} \times \frac{7}{15} = \frac{14}{75}$$ Puisque $p(A \cap B) \neq p(A) \times p(B)$ ($\frac{15}{75} \neq \frac{14}{75}$) :
   
   Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
2. a) Loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :
   L'expérience est répétée $n=3$ fois de manière identique et indépendante.
   À chaque épreuve, la probabilité de succès (réaliser $A$) est $p = p(A) = \frac{2}{5}$, et d'échec $q = 1 - p = \frac{3}{5}$.
   Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(3, \frac{2}{5}\right)$.
   Pour tout $k \in \{0, 1, 2, 3\}$ : $p(X=k) = C_3^k \left(\frac{2}{5}\right)^k \left(\frac{3}{5}\right)^{3-k}$.
   • $p(X=0) = C_3^0 \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$
   • $p(X=1) = C_3^1 \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{5} \times \frac{9}{25} = \frac{54}{125}$
   • $p(X=2) = C_3^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{3}{5}\right)^1 = 3 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}$
   • $p(X=3) = C_3^3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}$
   
   Tableau de la loi de probabilité de $X$ :

   $X = x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $p(X = x_i)$	$\frac{27}{125}$	$\mathbf{\frac{54}{125}}$	$\mathbf{\frac{36}{125}}$	$\mathbf{\frac{8}{125}}$

   
   b) Calcul de l'espérance mathématique $E(X)$ :
   Pour une variable binomiale $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :
   $$E(X) = n \cdot p = 3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$$
   $E(X) = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Partie I :

1. a) Justification graphique que $g(x) - h(x) > 0$ :
   D'après le graphique, sur tout l'intervalle $]0,+\infty[$, la courbe $(C_g)$ est située strictement au-dessus de la courbe $(C_h)$.
   Donc pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $g(x) > h(x) \implies g(x) - h(x) > 0$.
   
   Pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $g(x) - h(x) > 0$
   
   
   b) Déduction pour tout $x \in ]0,+\infty[$ :
   On a $g(x) - h(x) > 0 \iff x^2 - (2\ln x - (\ln x)^2) > 0 \iff 2\ln x - (\ln x)^2 < x^2$.
   Comme $x \in ]0,+\infty[$, on a $x^2 > 0$. En divisant les deux membres par $x^2$ :
   
   Pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $\frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1$
2. a) Primitive $H$ et calcul d'intégrale :
   La fonction $H(x) = x\ln x - x$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme produit et somme de fonctions dérivables :
   $$H'(x) = (x)' \ln x + x (\ln x)' - (x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$$ Donc $H$ est une primitive de $x \mapsto \ln x$ sur $]0,+\infty[$.
   Calculons l'intégrale :
   $$\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx = [x\ln x - x]_1^{e^2} = (e^2 \ln(e^2) - e^2) - (1\ln 1 - 1) = (2e^2 - e^2) - (-1) = e^2 + 1$$
   $\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx = 1 + e^2$
   
   
   b) Intégration par parties de $\int_1^{e^2} (\ln x)^2\,dx$ :
   Posons : $$\begin{cases} u(x) = (\ln x)^2 \\ v'(x) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} u'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} \ln x = \frac{2\ln x}{x} \\ v(x) = x \end{cases}$$ Par la formule d'intégration par parties :
   $$\int_1^{e^2} (\ln x)^2\,dx = [x(\ln x)^2]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} x \cdot \frac{2\ln x}{x}\,dx = [x(\ln x)^2]_1^{e^2} - 2\int_1^{e^2} \ln x\,dx$$ $$= (e^2(\ln(e^2))^2 - 1(\ln 1)^2) - 2(1 + e^2) = e^2(2)^2 - 0 - 2 - 2e^2 = 4e^2 - 2e^2 - 2 = 2e^2 - 2$$
   $\int_1^{e^2} (\ln x)^2\,dx = 2e^2 - 2$
   
   
   c) Résolution de $h(x) = 0$ et points d'intersection :
   Pour $x \in ]0,+\infty[$ :
   $$h(x) = 0 \iff 2\ln x - (\ln x)^2 = 0 \iff \ln x (2 - \ln x) = 0 \iff \ln x = 0 \quad\text{ou}\quad \ln x = 2$$ $$\iff x = 1 \quad\text{ou}\quad x = e^2$$ Les solutions sont $S = \{1, e^2\}$.
   
   Les points d'intersection de $(C_h)$ avec l'axe des abscisses sont $A(1,0)$ et $B(e^2,0)$.
   
   
   d) Aire de la partie du plan :
   D'après le signe de $h(x)$ (ou le graphique), pour tout $x \in [1, e^2]$, $h(x) \ge 0$.
   L'aire $\mathcal{A}$ est donnée par :
   $$\mathcal{A} = \int_1^{e^2} h(x)\,dx = \int_1^{e^2} (2\ln x - (\ln x)^2)\,dx = 2\int_1^{e^2} \ln x\,dx - \int_1^{e^2} (\ln x)^2\,dx$$ $$\mathcal{A} = 2(1 + e^2) - (2e^2 - 2) = 2 + 2e^2 - 2e^2 + 2 = 4\text{ ua}$$
   $\mathcal{A} = 4\text{ ua}$

Partie II :

1. a) Limite en $0^+$ et interprétation géométrique :
   On a $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \implies \lim_{x \to 0^+} (\ln x)^2 = +\infty$.
   Donc $\lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)^2}{x} = +\infty$, d'où :
   $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x - \frac{(\ln x)^2}{x}\right) = 0 - (+\infty) = -\infty$$
   $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$
   
   Interprétation géométrique : La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$ à droite de 0.
   
   b) Limite de $\frac{(\ln x)^2}{x}$ et limite de $f(x)$ en $+\infty$ :
   Posons $t = \sqrt{x} \iff x = t^2$. Lorsque $x \to +\infty$, $t \to +\infty$.
   $$\frac{(\ln x)^2}{x} = \frac{(\ln(t^2))^2}{t^2} = \frac{(2\ln t)^2}{t^2} = 4 \left(\frac{\ln t}{t}\right)^2$$ Comme $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$, on a $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 4(0)^2 = 0$.
   
   $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$
   
   Par suite :
   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - \frac{(\ln x)^2}{x}\right) = +\infty - 0 = +\infty$$
   $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
   
   
   c) Asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ :
   $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{(\ln x)^2}{x}\right) = 0$$
   La droite d'équation $y = x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
2. a) Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
   La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme différence et quotient de fonctions dérivables :
   $$f'(x) = (x)' - \left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)' = 1 - \frac{((\ln x)^2)' \cdot x - (\ln x)^2 \cdot (x)'}{x^2}$$ $$= 1 - \frac{\left(2 \cdot \frac{1}{x} \ln x\right) \cdot x - (\ln x)^2 \cdot 1}{x^2} = 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$$
   Pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $f'(x) = 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$
   
   
   b) Sens de variation de $f$ :
   D'après la question I-1-b, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ :
   $$\frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1 \implies 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} > 0 \implies f'(x) > 0$$
   La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
3. a) Solution unique de $f(x) = 0$ :
   • La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
   • $f(]0,+\infty[) = \left]\lim_{x \to 0^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[ = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
   Puisque $0 \in \mathbb{R}$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) :
   
   L'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0,+\infty[$.
   
   
   b) Encadrement de $\alpha$ et relation $\ln\alpha = -\alpha$ :
   • $f(e^{-1}) = e^{-1} - \frac{(\ln(e^{-1}))^2}{e^{-1}} = e^{-1} - \frac{(-1)^2}{e^{-1}} = e^{-1} - e = \frac{1 - e^2}{e} < 0$
   • $f(1) = 1 - \frac{(\ln 1)^2}{1} = 1 - 0 = 1 > 0$
   Comme $f(e^{-1}) \times f(1) < 0$ et $f$ est continue et strictement croissante sur $[e^{-1}, 1]$ :
   
   $e^{-1} < \alpha < 1$
   
   De plus, $f(\alpha) = 0 \iff \alpha - \frac{(\ln\alpha)^2}{\alpha} = 0 \iff \alpha^2 = (\ln\alpha)^2 \iff |\ln\alpha| = \alpha$.
   Comme $e^{-1} < \alpha < 1 \implies \ln\alpha < 0$, on a $|\ln\alpha| = -\ln\alpha$.
   D'où $-\ln\alpha = \alpha \iff \ln\alpha = -\alpha$.
   
   $\ln\alpha = -\alpha$
   
   
   c) Montrons que $f(x) \le x$ sur $]0,+\infty[$ :
   Pour tout $x \in ]0,+\infty[$ :
   $$f(x) - x = -\frac{(\ln x)^2}{x}$$ Comme $(\ln x)^2 \ge 0$ et $x > 0$, on a $-\frac{(\ln x)^2}{x} \le 0$, donc $f(x) - x \le 0$.
   
   Pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $f(x) \le x$
   
   
   d) Équation de la tangente $(T)$ en 1 :
   L'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $x_0 = 1$ est :
   $$(T) : y = f'(1)(x - 1) + f(1)$$ On a $f'(1) = 1 - \frac{2\ln 1 - (\ln 1)^2}{1^2} = 1 - 0 = 1$ et $f(1) = 1$.
   Donc $y = 1(x - 1) + 1 = x$.
   
   $(T) : y = x$
4. a) Fonction réciproque $\varphi^{-1}$ :
   La fonction $\varphi$ est la restriction de $f$ à l'intervalle $]0, 1]$.
   Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $]0, 1]$, $\varphi$ est continue et strictement croissante sur $]0, 1]$.
   Donc $\varphi$ réalise une bijection de $]0, 1]$ sur :
   $$J = \varphi(]0, 1]) = \left]\lim_{x \to 0^+} \varphi(x), \varphi(1)\right] = ]-\infty, 1]$$
   $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur $J = ]-\infty, 1]$.
   
   
   b) Dérivabilité de $\varphi^{-1}$ en 0 et valeur de $(\varphi^{-1})'(0)$ :
   On a $\varphi(\alpha) = 0$ avec $\alpha \in ]e^{-1}, 1[ \subset ]0, 1]$.
   La fonction $\varphi$ est dérivable en $\alpha$ et :
   $$\varphi'(\alpha) = 1 - \frac{2\ln\alpha - (\ln\alpha)^2}{\alpha^2}$$ Comme $\ln\alpha = -\alpha$, on remplace $\ln\alpha$ par $-\alpha$ :
   $$\varphi'(\alpha) = 1 - \frac{2(-\alpha) - (-\alpha)^2}{\alpha^2} = 1 - \frac{-2\alpha - \alpha^2}{\alpha^2} = 1 - \left(-\frac{2}{\alpha} - 1\right) = 1 + \frac{2}{\alpha} + 1 = 2 + \frac{2}{\alpha} = \frac{2\alpha + 2}{\alpha} \neq 0$$ Puisque $\varphi'(\alpha) \neq 0$, la fonction réciproque $\varphi^{-1}$ est dérivable en 0 et :
   $$(\varphi^{-1})'(0) = \frac{1}{\varphi'(\alpha)} = \frac{1}{\frac{2\alpha+2}{\alpha}} = \frac{\alpha}{2 + 2\alpha}$$
   $(\varphi^{-1})'(0) = \frac{\alpha}{2 + 2\alpha}$
   
   
   c) Construction de la courbe de $\varphi^{-1}$ :
   La courbe $(C_{\varphi^{-1}})$ est le symétrique de la courbe $(C_\varphi)$ par rapport à la première bissectrice d'équation $y = x$.
   

Partie III :

1. Montrons par récurrence que $1 < u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   • Initialisation : Pour $n = 0$, on a $u_0 = e \approx 2{,}718 > 1$. La proposition est donc vraie pour $n = 0$.
   • Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $u_n > 1$ et montrons que $u_{n+1} > 1$.
   D'après la Partie II, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
   Donc $u_n > 1 \implies f(u_n) > f(1)$.
   Comme $f(u_n) = u_{n+1}$ et $f(1) = 1$, on obtient $u_{n+1} > 1$.
   • Conclusion : D'après le principe de récurrence :
   
   Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $1 < u_n$
2. a) Montrons que la suite $(u_n)$ est décroissante :
   D'après la question II-3-c, on a $f(x) \le x$ pour tout $x \in ]0,+\infty[$.
   Comme pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1 > 0$, on peut poser $x = u_n$ :
   $$f(u_n) \le u_n \iff u_{n+1} \le u_n$$
   La suite $(u_n)$ est décroissante.
   
   
   b) Convergence de $(u_n)$ :
   La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1.
   
   La suite $(u_n)$ est convergente.
   
   
   c) Déterminons la limite de la suite $(u_n)$ :
   Soit $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$. Comme $u_n > 1$ pour tout $n$, on a $\ell \ge 1$.
   La suite vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue sur $[1, +\infty[$ et $f([1, +\infty[) \subset [1, +\infty[$.
   Donc la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(\ell) = \ell$ dans l'intervalle $[1, +\infty[$ :
   $$f(\ell) = \ell \iff \ell - \frac{(\ln\ell)^2}{\ell} = \ell \iff -\frac{(\ln\ell)^2}{\ell} = 0 \iff (\ln\ell)^2 = 0 \iff \ln\ell = 0 \iff \ell = 1$$
   $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$