Session Normale

1.a. Calcul de $u_1$ :
$$u_1 = \frac{u_0 - 25}{u_0 + 11} = \frac{1 - 25}{1 + 11} = \frac{-24}{12} = -2$$

1.b. Démonstration :
$$u_{n+1} + 5 = \frac{u_n - 25}{u_n + 11} + 5 = \frac{u_n - 25 + 5(u_n + 11)}{u_n + 11} = \frac{u_n - 25 + 5u_n + 55}{u_n + 11} = \frac{6u_n + 30}{u_n + 11} = 6 \times \frac{u_n + 5}{u_n + 11}$$

2.a. Calcul de $v_0$ :
$$v_0 = \frac{1}{5 + u_0} = \frac{1}{5 + 1} = \frac{1}{6}$$

2.b. Nature de la suite $(v_n)$ :
$$v_{n+1} = \frac{1}{5 + u_{n+1}} = \frac{1}{6 \times \frac{u_n + 5}{u_n + 11}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{u_n + 11}{u_n + 5} = \frac{1}{6} \cdot \frac{u_n + 5 + 6}{u_n + 5} = \frac{1}{6} \left(\frac{u_n + 5}{u_n + 5} + \frac{6}{u_n + 5}\right)$$ $$v_{n+1} = \frac{1}{6} \left(1 + \frac{6}{u_n + 5}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{u_n + 5} = \frac{1}{6} + v_n$$ Donc $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2.c. Expression de $v_n$ en fonction de $n$ :
$$v_n = v_0 + n \cdot r = \frac{1}{6} + \frac{n}{6} = \frac{1 + n}{6}$$

3.a. Expression de $u_n$ en fonction de $v_n$ :
$$v_n = \frac{1}{5 + u_n} \implies 5 + u_n = \frac{1}{v_n} \implies u_n = \frac{1}{v_n} - 5 = \frac{1 - 5v_n}{v_n}$$

3.b. Déduction de $u_n$ en fonction de $n$ :
En remplaçant $v_n = \frac{1+n}{6}$ : $$u_n = \frac{1 - 5\left(\frac{1+n}{6}\right)}{\frac{1+n}{6}} = \frac{\frac{6 - 5(1+n)}{6}}{\frac{1+n}{6}} = \frac{6 - 5 - 5n}{1 + n} = \frac{1 - 5n}{1 + n}$$

3.c. Calcul de la limite :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - 5n}{1 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n\left(\frac{1}{n} - 5\right)}{n\left(\frac{1}{n} + 1\right)} = \frac{0 - 5}{0 + 1} = -5 \quad \left(\text{car } \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\right)$$

1. Calcul du nombre de tirages possibles ($\text{Card}(\Omega)$) :
$$C_7^5 = \frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{120} = 21$$

2.a. Probabilité de l'événement $A$ (3 rouges et 2 vertes) :
$$p(A) = \frac{C_5^3 \times C_2^2}{C_7^5} = \frac{10 \times 1}{21} = \frac{10}{21}$$

2.b. Probabilité de l'événement $B$ (boules de même couleur) :
Comme l'urne ne contient que 2 boules vertes, il est impossible de tirer 5 boules vertes. L'événement $B$ se résume donc au tirage de 5 boules rouges : $$p(B) = \frac{C_5^5}{C_7^5} = \frac{1}{21}$$

2.c. Probabilité de l'événement $C$ (au moins une verte) :
L'événement contraire $\overline{C}$ est « aucune boule verte », soit « 5 boules rouges », qui correspond exactement à l'événement $B$ : $$p(C) = 1 - p(\overline{C}) = 1 - p(B) = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$$

3.a. Loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :
Les valeurs possibles prises par $X$ sont $\{3, 4, 5\}$ (car on tire 5 boules et il y a au plus 2 vertes) :
• $p(X = 3) = p(A) = \frac{10}{21}$
• $p(X = 4) = \frac{C_5^4 \times C_2^1}{C_7^5} = \frac{5 \times 2}{21} = \frac{10}{21}$
• $p(X = 5) = p(B) = \frac{1}{21}$

Vérification : $\frac{10}{21} + \frac{10}{21} + \frac{1}{21} = \frac{21}{21} = 1$.


3.b. Espérance mathématique $E(X)$ :
$$E(X) = \sum x_i \cdot p(X = x_i) = 3 \times \frac{10}{21} + 4 \times \frac{10}{21} + 5 \times \frac{1}{21} = \frac{30 + 40 + 5}{21} = \frac{75}{21} = \frac{25}{7}$$

1. Lecture graphique (Vrai ou Faux) :
• Proposition A : Vraie (La droite horizontale $y = 1$ coupe la courbe $(C_g)$ en trois points distincts d'abscisses respectives : une négative, $x = 0$, et une positive).
• Proposition B : Fausse (Sur l'intervalle $[0; 2]$, la courbe $(C_g)$ descend, donc $g$ est décroissante puis croissante sur $[2; +\infty[$).
• Proposition C : Fausse (La fonction tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$, elle n'admet pas de maximum global sur $\mathbb{R}$).
• Proposition D : Vraie (En $x = 2$, la tangente à $(C_g)$ est horizontale ou de pente négative/nulle).


2.a. Calcul de la dérivée $g'(x)$ :
$$g'(x) = (e^x - 2x^2 + 1)' = e^x - 4x$$

2.b. Calcul de la dérivée seconde $g''(x)$ :
$$g''(x) = (g'(x))' = (e^x - 4x)' = e^x - 4$$

2.c. Signe de $g''(x)$ et point d'inflexion :
$$g''(x) = 0 \iff e^x - 4 = 0 \iff e^x = 4 \iff x = \ln(4)$$ $$g''(x) > 0 \iff e^x > 4 \iff x > \ln(4)$$ $$g''(x) < 0 \iff e^x < 4 \iff x < \ln(4)$$

Puisque la dérivée seconde $g''$ s'annule en $x = \ln(4)$ en changeant de signe, la courbe $(C_g)$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x = \ln(4)$.
Coordonnées du point d'inflexion : $I\left(\ln(4)\ ;\ 5 - 2(\ln 4)^2\right)$.

1. Limite en $0^+$ et interprétation géométrique :
On a $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \implies \lim_{x \to 0^+} -\ln(x) = +\infty$.
Donc : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ • Interprétation géométrique : La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$.

2.a. Limite en $+\infty$ :
Pour tout $x > 0$ : $\displaystyle f(x) = x\left(\frac{x}{2} - \frac{\ln x}{x}\right)$.
Comme $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty$, on a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{2} - \frac{\ln x}{x}\right) = +\infty$.
Par produit : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$

2.b. Branche infinie en $+\infty$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{2} - \frac{\ln x}{x}\right) = +\infty$$ • Interprétation géométrique : La courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$.

3.a. Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
Pour tout $x \in ]0; +\infty[$ : $$f'(x) = \left(\frac{x^2}{2} - \ln x\right)' = \frac{2x}{2} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x}$$

3.b. Signe de $f'(x)$ :
Sur $]0; +\infty[$, on a $x > 0$ et $x + 1 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du facteur $(x - 1)$ :
• Si $x \in ]0; 1]$, alors $x - 1 \le 0 \implies f'(x) \le 0$ ($f$ est strictement décroissante).
• Si $x \in [1; +\infty[$, alors $x - 1 \ge 0 \implies f'(x) \ge 0$ ($f$ est strictement croissante).


3.c. Calcul de $f(1)$ et tableau de variations :
$$f(1) = \frac{1^2}{2} - \ln(1) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$

3.d. Signe de $f$ sur $]0; +\infty[$ :
D'après le tableau de variations, $f(1) = \frac{1}{2}$ est la valeur minimale absolue de $f$ sur $]0; +\infty[$.
Donc pour tout $x \in ]0; +\infty[$ : $$f(x) \ge f(1) = \frac{1}{2} > 0$$

4.a. Intégration par parties de $\displaystyle \int_1^e \ln(x)\,dx$ :
On pose : $$\begin{cases} u'(x) = 1 \\ v(x) = \ln(x) \end{cases} \implies \begin{cases} u(x) = x \\ v'(x) = \frac{1}{x} \end{cases}$$ $$\int_1^e \ln(x)\,dx = [x \ln(x)]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,dx = (e \ln(e) - 1 \ln(1)) - \int_1^e 1\,dx = (e - 0) - [x]_1^e = e - (e - 1) = 1$$

4.b. Calcul de l'intégrale $\displaystyle \int_1^e \frac{x^2}{2}\,dx$ :
$$\int_1^e \frac{x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{6}\right]_1^e = \frac{e^3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{e^3 - 1}{6}$$

4.c. Calcul de l'aire $\mathcal{A}$ :
Puisque $f(x) \ge 0$ sur $[1; e]$, l'aire du domaine délimité par $(C_f)$, l'axe $(Ox)$ et les droites $x = 1$ et $x = e$ est donnée par : $$\mathcal{A} = \int_1^e f(x)\,dx = \int_1^e \left(\frac{x^2}{2} - \ln(x)\right)\,dx = \int_1^e \frac{x^2}{2}\,dx - \int_1^e \ln(x)\,dx$$ $$\mathcal{A} = \frac{e^3 - 1}{6} - 1 = \frac{e^3 - 1 - 6}{6} = \frac{e^3 - 7}{6}\text{ u.a.}$$